Conjunto conexo

Un conjunto abierto \( A \) se dice conexo si no es posible descomponerlo en la unión de dos subconjuntos abiertos disjuntos y no vacíos, es decir, si no existen \( A_1 \) y \( A_2 \) tales que:

• \( A_1 \cap A_2 = \emptyset \) (son disjuntos)
• \( A_1 \neq \emptyset \) y \( A_2 \neq \emptyset \) (ambos son no vacíos)
• \( A_1 \cup A_2 = A \) (su unión cubre todo \( A \))

Si tales conjuntos \( A_1 \) y \( A_2 \) existieran, \( A \) se podría "fragmentar" en dos partes separadas, lo que implicaría que no es conexo.

Ejemplo ilustrativo

Ejemplo 1: Un conjunto conexo

Un ejemplo clásico de conjunto conexo es un intervalo abierto en la recta real, como \( A = (0,1) \).

Este intervalo no puede descomponerse en dos subconjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos cuya unión sea \( (0,1) \).

Supongamos que intentamos dividir \( (0,1) \) en dos subconjuntos abiertos disjuntos, como \( (0,a) \) y \( (b,1) \), con \( 0 < a < b < 1 \). La unión de estos conjuntos no cubre \( (0,1) \), ya que el intervalo \( (a,b) \) quedaría fuera. Como la condición \( A_1 \cup A_2 = A \) no se cumple, \( A \) no puede descomponerse de esta manera, lo que confirma que es conexo.

Ejemplo 2: Un conjunto no conexo

Consideremos ahora el conjunto \( A = (0,0.4) \cup (0.6,1) \), que es la unión de dos intervalos abiertos separados.

Este conjunto no es conexo, ya que podemos descomponerlo en los subconjuntos abiertos \( (0,0.4) \) y \( (0.6,1) \), los cuales son disjuntos, no vacíos y cuya unión es precisamente \( A \).

Dado que \( (0,0.4) \) y \( (0.6,1) \) ya son abiertos, disjuntos y no vacíos, y además \( (0,0.4) \cup (0.6,1) = A \), queda claro que \( A \) no es conexo.

Definición alternativa de conjunto conexo

En otras palabras, si existieran dos subconjuntos abiertos disjuntos cuya unión fuera \( A \), al menos uno de ellos tendría que ser vacío. De lo contrario, \( A \) estaría dividido en dos partes separadas, lo que contradice la definición de conexidad.