Mínimo

¿Qué es el valor mínimo?

El valor mínimo \(m\) de un conjunto \(A\) es un elemento de \(A\) que es menor o igual que cualquier otro elemento del conjunto: $$ \begin{cases} m \in A \\ \\ m \le a \:\:\ \forall \:\: a \in A \end{cases} $$ Este valor mínimo suele representarse como: $$ m=\min(A) $$

Un elemento solo puede ser el mínimo de un conjunto si pertenece a él.

Si no forma parte del conjunto, se denomina cota inferior o ínfimo (la mayor cota inferior).

¿Un conjunto puede no tener un mínimo? Sí, es posible que un conjunto no tenga un valor mínimo. No todos los conjuntos poseen un mínimo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales positivos \(R^+\) no tiene un valor mínimo porque su dominio es \(0,+\infty\). El número 0 no pertenece al conjunto de los reales positivos y, entre cero y cualquier número real \(r\), siempre existe otro número real \(r'\) dentro del intervalo \(0

Un ejemplo práctico

Consideremos el siguiente conjunto de 7 elementos:

$$ A = \{ 1, 2, 4, -2, 6, -1, 3 \} $$

El valor mínimo del conjunto \(A\) es -2:

$$ \min(A) = -2 $$

Esto se debe a que -2 es menor o igual que todos los elementos del conjunto:

$$ -2 \le 1 \\ -2 \le 2 \\ -2 \le 4 \\ -2 \le -2 \\ -2 \le 6 \\ -2 \le -1 \\ -2 \le 3 $$

Unicidad del valor mínimo

Si un conjunto tiene un valor mínimo, este es único.

Es decir, no pueden existir dos o más valores mínimos dentro de un mismo conjunto.

Sin embargo, un conjunto puede no tener un mínimo.

Nota. Es importante señalar que un conjunto no puede contener elementos repetidos. Por lo tanto, si existe un mínimo, necesariamente es único.

Demostración

Supongamos, por contradicción, que un conjunto tiene dos valores mínimos distintos:

$$ m_1 \le a \:\: \forall a \in A $$

$$ m_2 \le a \:\: \forall a \in A $$

Como ambos son valores mínimos, necesariamente pertenecen al conjunto \(A\):

$$ m_1, m_2 \in A $$

Al ser menores o iguales a todos los elementos del conjunto, los valores \(m_1\) y \(m_2\) deben cumplir la relación de orden recíproca:

$$ m_1 \le m_2 $$

$$ m_2 \le m_1 $$

Si combinamos ambas desigualdades, obtenemos una relación de igualdad:

$$ ( m_1 \le m_2 ) \land (m_2 \le m_1) \Leftrightarrow m_1=m_2 $$

Por lo tanto, los dos mínimos coinciden y tienen el mismo valor: \(m_1 = m_2\).

Así se demuestra la unicidad del valor mínimo de un conjunto.

Y con esto, queda probado.