Conjuntos Idénticos

Dos conjuntos A y B son conjuntos idénticos (o conjuntos iguales) si cumplen la condición de inclusión mutua: $$ A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$ En tal caso, se escribe: $$ A = B $$

Dicho de otro modo, dos conjuntos A y B son idénticos si A contiene a B y B contiene a A.

Ambos conjuntos son subconjuntos impropios el uno del otro.

Demostración

Según la primera inclusión, todos los elementos del conjunto A están en el conjunto B.

$$ A \subseteq B $$

Por lo tanto, no existe ningún elemento en A que no pertenezca también a B.

De manera análoga, según la segunda inclusión, todos los elementos del conjunto B están en el conjunto A.

$$ B \subseteq A $$

Esto significa que no hay elementos en B que no formen parte de A.

Si no hay elementos en B que no estén en A, ni elementos en A que no estén en B, queda demostrado que los dos conjuntos son idénticos.

$$ A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$

Otra forma de expresarlo es decir que dos conjuntos son iguales cuando cada elemento de A pertenece a B y viceversa: $$ A = B \Leftrightarrow ( x \in A \Leftrightarrow x \in B ) $$

Ejemplo

Veamos un ejemplo con dos conjuntos:

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ x \in N \ | \ 2x + 1 < 10 \} $$

El conjunto B está formado por todos los números naturales que cumplen la condición \(2x+1<10\).

$$ 2x+1<10 $$

$$ x < \frac{9}{2} $$

Es decir, los números naturales 0, 1, 2, 3 y 4.

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

Como se puede ver, ambas condiciones de inclusión se cumplen:

$$ A \subseteq B $$

$$ B \subseteq A $$

Por lo tanto, los dos conjuntos son idénticos.

$$ A=B $$

Observaciones

Algunas consideraciones sobre los conjuntos iguales:

• Los conjuntos iguales tienen la misma cardinalidad.
  Aunque pueda parecer evidente, es un detalle que conviene recordar. Si dos conjuntos son iguales, \( A = B \), entonces contienen exactamente los mismos elementos y, por lo tanto, tienen el mismo número de elementos, es decir, la misma cardinalidad. $$ | A | = |B| $$

Y así sucesivamente.