Conjunto no acotado
Definición de conjunto no acotado
Un conjunto $ A $ se dice no acotado cuando su ínfimo y supremo son, respectivamente, menos infinito y más infinito. $$ inf(A)=-\infty $$ $$ sup(A)=+\infty $$
- Un conjunto es no acotado inferiormente si su ínfimo es menos infinito (-∞).
- Un conjunto es no acotado superiormente si su supremo es más infinito (+∞).
- Un conjunto se denomina no acotado cuando no está acotado ni por abajo ni por arriba.
De manera más general, un conjunto \( A \subset \mathbb{R} \) es no acotado inferiormente si, para todo número real \( M \), existe al menos un elemento del conjunto que es estrictamente menor que \( M \). Dicho de otro modo, el conjunto no tiene ninguna cota inferior finita.
$$ \forall \ M \in \mathbb{R} \ \exists \ x \in A \mid x < M $$
De forma análoga, un conjunto \( A \subset \mathbb{R} \) es no acotado superiormente si, para todo número real \( M \), existe al menos un elemento del conjunto que es estrictamente mayor que \( M \). En este caso, el conjunto no admite ninguna cota superior finita.
$$ \forall \ M \in \mathbb{R} \ \exists \ x \in A \mid x > M $$
Cuando un conjunto es no acotado tanto inferior como superiormente, se habla simplemente de un conjunto no acotado, sin necesidad de añadir más precisiones.
Nota. Un conjunto se dice acotado si está acotado tanto inferior como superiormente. Esto significa que existen dos números reales \( m \) y \( M \) tales que $ m \le x \le M \quad \forall x \in A $.
Ejemplos prácticos
Ejemplo 1
El conjunto de los números reales R es un conjunto no acotado.
$$ inf(R) = -\infty $$
$$ sup(R) = +\infty $$
En este caso, tanto el ínfimo como el supremo son infinitos.
Sea cual sea el número real que se considere, siempre es posible encontrar otro número real mayor y otro menor.
Ejemplo 2
El conjunto de los números naturales N es no acotado superiormente.
$$ inf(N) = 0 $$
$$ sup(N) = +\infty $$
Aquí, solo el supremo es infinito (+∞), mientras que el ínfimo (0) es un número real finito.
En otras palabras, dado cualquier número natural, siempre se puede encontrar otro número natural estrictamente mayor.
Ejemplo 3
El conjunto de los números reales negativos R- es no acotado inferiormente.
$$ inf(R^-) = -\infty $$
$$ sup(R^-) = 0 $$
En este caso, solo el ínfimo es infinito (-∞), mientras que el supremo (0) es un número real finito.
De forma equivalente, dado cualquier número real negativo, siempre es posible encontrar otro que sea menor.
Y así sucesivamente.
