Extremos de un Conjunto
Definición de los Extremos
- Todo conjunto no vacío tiene siempre un supremo (cota superior) y un ínfimo (cota inferior).
- En los conjuntos acotados, los extremos son números finitos.
- En los conjuntos no acotados, los extremos están representados por los símbolos de infinito positivo o negativo (±∞).
Un conjunto puede estar acotado superiormente (es decir, tener un supremo finito) y ser no acotado inferiormente (su ínfimo es infinito), o viceversa.
Nota: El supremo y el ínfimo de un conjunto pueden pertenecer o no al propio conjunto.
La mejor manera de comprender los conceptos de ínfimo y supremo es a través de ejemplos prácticos.
El Ínfimo
Dado un conjunto A y un subconjunto B $$ B ⊆ A $$, el ínfimo de B es un elemento a∈A que es menor o igual que cualquier elemento b∈B. $$ inf(B) = a \le b \:\:\: a \in A, b \in B $$
- En conjuntos acotados, el ínfimo es el mayor de los límites inferiores (minorantes).
Por ejemplo, el ínfimo de B es el número 3.
- En conjuntos no acotados, el ínfimo es menos infinito (-∞).
Ejemplo 1
El conjunto A es el conjunto de todos los números reales R en el intervalo (-∞,+∞).
El conjunto B está formado por 7 números reales y es un subconjunto de A.
$$ B = \{ 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6 \} $$
El ínfimo de B es el número 3.
$$ inf(B) = 3 \le b \:\:\: \forall \: b \in B $$
porque el número 3 es el menor de todos los elementos de B.
Nota: En este caso, el ínfimo inf(B)=3 pertenece al conjunto B, pero esto no siempre ocurre.
Ejemplo 2
El conjunto A es el conjunto de todos los números reales R en el intervalo (-∞,+∞).
El conjunto B es el conjunto de los números reales positivos R+, un subconjunto de A.
El ínfimo de B es cero.
$$ inf(B) \le b \:\:\: \forall \: b \ \in \ B $$
Es la mayor cota inferior del conjunto R+.
Nota: En este caso, el ínfimo inf(B)=0 no pertenece al conjunto B (R+), ya que hay infinitos números positivos arbitrariamente cercanos a cero.
El Supremo
Dado un conjunto A y un subconjunto B $$ B ⊆ A $$, el supremo de B es un elemento a∈A que es mayor o igual que cualquier elemento b∈B. $$ sup(B) = a \ge b \:\:\: a \ \in \ A \ , \ b \in B $$
- En conjuntos acotados, el supremo es el menor de los límites superiores (mayorantes).
Por ejemplo, el supremo de B es 9.
- En conjuntos no acotados, el supremo es más infinito (+∞).
Ejemplo 1
El conjunto A es el conjunto de todos los números reales R en el intervalo (-∞,+∞).
El conjunto B está formado por 7 números reales y es un subconjunto de A.
$$ B = \{ 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6 \} $$
El supremo de B es el número 9.
$$ sup(B) = 9 \ge b \:\:\: \forall \: \ b \ \in B $$
porque el número 9 es el mayor de todos los elementos de B.
Nota: En este caso, el supremo sup(B)=9 pertenece al conjunto B, pero esto no siempre ocurre.
Ejemplo 2
El conjunto A es el conjunto de todos los números reales R en el intervalo (-∞,+∞).
El conjunto B es el conjunto de los números reales negativos R-, un subconjunto de A.
La cota inferior del conjunto B es menos infinito.
$$ inf(B) = - \infty \le b \:\:\: \forall \: \ b \ \in B $$
Nota: En este caso, la cota inferior inf(B)=-∞ pertenece al conjunto B (R-) porque el conjunto de los números reales negativos no tiene un límite inferior. Sin embargo, la cota superior sup(B)=0 no pertenece a B (R-), ya que no es un número real negativo.
Y así sucesivamente.
