Multiconjuntos
Un multiconjunto es una extensión del concepto de conjunto tradicional, en la que se permite la repetición de elementos.
Los multiconjuntos son útiles cuando el número de veces que aparece cada objeto en una colección es un dato relevante.
A diferencia de un conjunto convencional, donde cada elemento es único y solo puede aparecer una vez, un multiconjunto permite la presencia de elementos repetidos.
Nota: Los multiconjuntos son especialmente valiosos en disciplinas como la combinatoria y la teoría de grupos, donde es común trabajar con configuraciones que incluyen repeticiones.
Formalmente, un multiconjunto se define como un par \( M = (A, m) \), donde:
- \( A \) es un conjunto llamado "conjunto de soporte".
- \( m: A \rightarrow \mathbb{N} \) es una "función de multiplicidad" que asigna a cada elemento de \( A \) un número entero positivo, indicando cuántas veces aparece en el multiconjunto. Esta función \( m \) es la que determina la estructura del multiconjunto.
Nota: Si la función \( m \) asigna el valor 1 a todos los elementos, el multiconjunto es simplemente el conjunto de soporte y equivale a un conjunto convencional.
La cardinalidad de un multiconjunto es la suma de las multiplicidades de todos sus elementos, lo que representa la cantidad total de elementos, incluidas las repeticiones.
También se puede representar un multiconjunto como un conjunto de pares ordenados:
$$ M = \{ (x,m(x)): x \in A \} $$
Aquí, \( x \) es un elemento del conjunto de soporte y \( m(x) \) indica cuántas veces aparece en el multiconjunto.
Ejemplo práctico
Consideremos un multiconjunto con los elementos \{a, a, b, b, b, c\}.
Podemos describirlo formalmente como \( M = (A, m) \), donde:
- \( A = \{a, b, c\} \) es el conjunto de soporte.
- Las funciones de multiplicidad son \( m(a) = 2 \), \( m(b) = 3 \) y \( m(c) = 1 \).
La cardinalidad total del multiconjunto \( M \) se obtiene sumando las multiplicidades de sus elementos:
$$ |M| = m(a) + m(b) + m(c) = 6 $$
Esto indica que el multiconjunto contiene un total de seis elementos, contando las repeticiones.
En este caso, el conjunto de pares ordenados es:
$$ M = \{ (a,2), (b,3), (c,1) \} $$
Ejemplo 2
Tomemos el número 360. Su factorización en primos es:
$$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$
Esto se puede expresar como un multiconjunto de los factores primos de 360:
$$ A = \{(2, 3), (3, 2), (5, 1)\} $$
Cada par indica la frecuencia de cada factor primo en la descomposición de 360, mostrando una aplicación concreta de los multiconjuntos en la representación de factores repetidos.
Ejemplo 3
Consideremos el polinomio:
$$ x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 $$
Este polinomio tiene dos raíces que aparecen tres veces y una raíz que aparece una sola vez.
Esto nos permite expresarlo en la forma factorizada:
$$ (x-2)^3 \cdot (x-1) $$
Las raíces pueden representarse como un multiconjunto:
$$ M = \{(2, 3), (1, 1)\} $$
Aquí, cada par indica la multiplicidad de cada raíz, destacando cómo los multiconjuntos pueden ser útiles para representar elementos repetidos en el contexto de las raíces de un polinomio.
Y así sucesivamente.
