Máximo

¿Qué es el valor máximo?

El máximo M de un conjunto A es un elemento de A que es mayor o igual que todos los demás elementos del conjunto: $$ \begin{cases} M \in A \\ \\ M \geq a \quad \forall \quad a \in A \end{cases} $$ El valor máximo se denota comúnmente como: $$ M = \max(A) $$

Un elemento solo puede ser el máximo de un conjunto si forma parte de él.

Si no pertenece al conjunto, se le llama cota superior o supremo (la menor de las cotas superiores).

¿Un conjunto puede no tener un máximo? Sí, no todos los conjuntos tienen un máximo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales ℝ no tiene un valor máximo, ya que su dominio es (-∞,+∞). El símbolo +∞ no es un número y, por lo tanto, no puede considerarse un valor máximo.

Un ejemplo práctico

Supongamos que el conjunto A está formado por los siguientes 7 elementos:

$$ A = \{ -1, 0, 4, 2, 6, 1, 3 \} $$

En este caso, el valor máximo de A es 6, ya que es el mayor de todos sus elementos:

$$ \max(A) = 6 $$

$$ 6 \geq -1 \\ 6 \geq 0 \\ 6 \geq 4 \\ 6 \geq 2 \\ 6 \geq 6 \\ 6 \geq 1 \\ 6 \geq 3 $$

Unicidad del máximo

Si un conjunto tiene un valor máximo, este es único.

Es decir, no puede haber dos o más valores máximos en un mismo conjunto.

Sin embargo, un conjunto puede no tener un máximo.

Nota: Es importante recordar que un conjunto no puede contener elementos repetidos. Por lo tanto, si un conjunto tiene un máximo, este será único.

Demostración

Supongamos, para llegar a una contradicción, que un conjunto tiene dos valores máximos distintos:

$$ M_1 \geq a \quad \forall a \in A $$

$$ M_2 \geq a \quad \forall a \in A $$

Como ambos son máximos, deben pertenecer al conjunto A:

$$ M_1, M_2 \in A $$

Además, por la definición de máximo, cada uno de ellos es mayor o igual que todos los elementos del conjunto, incluyendo al otro:

$$ M_1 \geq M_2 $$

$$ M_2 \geq M_1 $$

De estas dos desigualdades se deduce inmediatamente que:

$$ ( M_1 \geq M_2 ) \land ( M_2 \geq M_1 ) \Rightarrow M_1 = M_2 $$

Por lo tanto, ambos valores máximos son en realidad el mismo, lo que prueba que el máximo de un conjunto, si existe, es único.

Y con esto queda demostrada la afirmación.