El Conjunto Universal
En teoría de conjuntos, el conjunto universal es aquel que engloba a todos los demás conjuntos. También se le conoce como el conjunto universo. $$ U = \{ A, B, C, ... \} $$
La Paradoja del Barbero
Sin embargo, la noción de conjunto universal conduce a ciertas contradicciones.
Para ilustrarlo, consideremos la paradoja del barbero, planteada por Bertrand Russell en el siglo XIX.
- En un pueblo, el barbero afeita a todas las personas que no se afeitan por sí mismas.
- Si el barbero se afeita a sí mismo, entonces no debería hacerlo.
- Si el barbero no se afeita a sí mismo, entonces debería hacerlo.
¿Quién afeita al barbero?
De manera análoga, podemos preguntarnos si el conjunto universal U es un elemento de sí mismo.
Por definición, el conjunto universal contiene a todos los conjuntos.
- Si U ∈ U, entonces U debería ser distinto de sí mismo.
- Si U ∉ U, entonces debería pertenecer a U.
Nota. En el caso del conjunto universal, utilizo la relación de pertenencia ∈ (y no la de subconjunto ⊆), ya que los elementos de U son otros conjuntos. Por lo tanto, es correcto escribir A∈U.
Veamos otro ejemplo que ilustra el problema con mayor claridad.
Definamos el conjunto S como aquel que contiene a todos los conjuntos que no se incluyen a sí mismos.
- Si S ∈ S, entonces no debería incluirse a sí mismo.
- Si S ∉ S, entonces debería incluirse a sí mismo.
Una vez más, nos enfrentamos a una contradicción.
¿Cómo podemos resolver estas paradojas?
Para evitar estos problemas, una solución es definir el conjunto universal U de forma restringida, es decir, como el conjunto que abarca únicamente los conjuntos con los que se está trabajando en un contexto determinado.
De este modo, se acota el universo de referencia a los conjuntos relevantes.
Los demás quedan fuera del análisis.
