De afsluiting van een verzameling is gelijk aan de unie van de verzameling en haar ophopingspunten
De afsluiting van een verzameling \( A \) in een topologische ruimte \( X \), genoteerd als \(\text{Cl}(A)\), is de unie van \( A \) en de verzameling \( A' \) van haar ophopingspunten: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Deze eigenschap biedt een heldere en fundamentele manier om de afsluiting van een deelverzameling \( A \) in een topologische ruimte \((X, \tau)\) te begrijpen.
Intuïtief omvat de afsluiting van \( A \) alle punten die, in topologische zin, willekeurig dicht bij \( A \) liggen, ook als ze zelf niet tot \( A \) behoren.
Het is belangrijk te benadrukken dat ophopingspunten niet noodzakelijk elementen van \( A \) zijn.
Hieruit volgt een cruciaal criterium: een verzameling \( A \) is gesloten dan en slechts dan als zij al haar ophopingspunten bevat. $$ A \text{ is gesloten } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Met andere woorden, een verzameling is gesloten precies wanneer zij samenvalt met haar afsluiting.
Illustratief voorbeeld
Beschouw de verzameling \( A = (0, 1) \), een deelverzameling van \( \mathbb{R} \) met de gebruikelijke topologie.
$$ A = (0,1) $$
Deze verzameling bevat alle reële getallen strikt tussen 0 en 1.
We bepalen nu stap voor stap de ophopingspunten van \( A \):
- Elk punt \( x \in (0,1) \) is een ophopingspunt, omdat elke open omgeving van \( x \) ook andere elementen van \( A \) bevat.
- Het punt \( 0 \) is eveneens een ophopingspunt, want elk open interval van de vorm \( (0, \varepsilon) \), met \( \varepsilon > 0 \), bevat punten van \( A \).
- Op dezelfde manier is \( 1 \) een ophopingspunt, omdat elke open omgeving van \( 1 \) ook punten van \( A \) bevat.
Daarom is de verzameling ophopingspunten:
$$ A' = [0,1] $$
De afsluiting van \( A \) verkrijgen we door \( A \) te verenigen met zijn ophopingspunten:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Omdat \( \text{Cl}(A) \ne A \), volgt dat \( A \) niet gesloten is:
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Voorbeeld 2
Beschouw nu \( B = [0, 1] \), opnieuw een deelverzameling van \( \mathbb{R} \) met de standaardtopologie.
$$ B = [0,1] $$
Deze verzameling bevat alle reële getallen tussen 0 en 1, inclusief de eindpunten.
Bepaal opnieuw de ophopingspunten:
- Elk punt \( x \in (0,1) \) is een ophopingspunt, omdat elke open omgeving andere punten van \( B \) bevat.
- Ook de eindpunten \( 0 \) en \( 1 \) zijn ophopingspunten, aangezien elke open omgeving van deze punten het interval snijdt in punten verschillend van het eindpunt zelf.
Daaruit volgt:
$$ B' = [0, 1] $$
De afsluiting van \( B \) is dan:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Hier geldt \( B = \text{Cl}(B) \), dus \( B \) is een gesloten verzameling.
Formeel bewijs
We bewijzen dat voor elke deelverzameling \( A \subseteq X \) geldt: \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \), waarbij \( A' \) de verzameling ophopingspunten van \( A \) is.
We herinneren eerst twee kernbegrippen:
- Afsluiting van \( A \): de doorsnede van alle gesloten verzamelingen die \( A \) bevatten.
- Ophopingspunt: een punt \( x \in X \) waarvoor elke omgeving van \( x \) een punt van \( A \setminus \{x\} \) bevat.
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Aangezien \( \text{Cl}(A) \) gesloten is en \( A \) bevat, geldt meteen:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Neem nu \( x \in A' \). Elke omgeving van \( x \) snijdt \( A \setminus \{x\} \). Stel dat \( x \notin \text{Cl}(A) \). Dan bestaat er een open omgeving \( U \) van \( x \) waarvoor \( U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset \), en dus ook \( U \cap A = \emptyset \). Dit is in tegenspraak met \( x \in A' \).
Daarom geldt:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Hieruit volgt:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Neem \( x \in \text{Cl}(A) \).
Als \( x \in A \), dan is er niets te bewijzen.
Als \( x \notin A \), dan snijdt elke omgeving van \( x \) de verzameling \( A \). Dat betekent precies dat \( x \) een ophopingspunt van \( A \) is.
Dus:
$$ x \in A' $$
en bijgevolg:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Conclusie
We hebben aangetoond dat:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{en} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
Daaruit volgt onmiddellijk:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Het bewijs is daarmee compleet.
