Domknięcie zbioru jako unia zbioru i jego punktów skupienia
W przestrzeni topologicznej \( X \) domknięcie zbioru \( A \), oznaczane symbolem \(\text{Cl}(A)\), można opisać w prosty i użyteczny sposób jako unię zbioru \( A \) oraz zbioru \( A' \) jego punktów skupienia : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Twierdzenie to stanowi jedną z najbardziej intuicyjnych i jednocześnie formalnie poprawnych charakterystyk domknięcia podzbioru \( A \) w przestrzeni topologicznej \((X, \tau)\).
W sensie intuicyjnym domknięcie obejmuje wszystkie punkty „związane" ze zbiorem \( A \): zarówno te, które do niego należą, jak i te, do których można dowolnie blisko zbliżyć się punktami zbioru \( A \).
Warto przy tym wyraźnie zaznaczyć, że punkty skupienia nie muszą być elementami samego zbioru \( A \).
Z powyższej charakterystyki wynika natychmiast ważne kryterium: zbiór \( A \) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia: $$ A \text{ jest domknięty } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Innymi słowy, zbiór jest domknięty dokładnie wtedy, gdy pokrywa się ze swoim domknięciem.
Przykład konkretny
Rozważmy przedział otwarty \( A = (0, 1) \) w przestrzeni liczb rzeczywistych \( \mathbb{R} \), wyposażonej w topologię standardową.
$$ A = (0,1) $$
Zbiór ten zawiera wszystkie liczby rzeczywiste ściśle pomiędzy 0 a 1, ale nie obejmuje punktów krańcowych.
Wyznaczmy teraz punkty skupienia zbioru \( A \):
- Każdy punkt \( x \in (0,1) \) jest punktem skupienia, ponieważ każde jego otoczenie zawiera inne elementy zbioru \( A \).
- Punkt \( 0 \) jest punktem skupienia, gdyż każde jego otwarte otoczenie, na przykład \( (0, \varepsilon) \), ma część wspólną ze zbiorem \( A \).
- Analogicznie punkt \( 1 \) jest punktem skupienia, ponieważ każde jego otoczenie, takie jak \( (1-\varepsilon, 1) \), zawiera punkty należące do \( A \).
W rezultacie zbiór punktów skupienia ma postać:
$$ A' = [0,1] $$
Domknięcie zbioru \( A \) jest zatem równe:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Ponieważ zbiór \( A \) nie zawiera punktów \( 0 \) i \( 1 \), zachodzi: $$ A \ne \text{Cl}(A) $$ Oznacza to, że \( A \) nie jest zbiorem domkniętym w topologii standardowej przestrzeni \( \mathbb{R} \).
Drugi przykład
Rozważmy teraz zbiór \( B = [0, 1] \), czyli przedział domknięty w \( \mathbb{R} \) z topologią standardową.
$$ B = [0,1] $$
Niech \( x \in B \). Wtedy:
- Jeżeli \( x \in (0,1) \), każde jego otoczenie zawiera inne punkty zbioru \( B \), a więc \( x \) jest punktem skupienia.
- Jeżeli \( x = 0 \) lub \( x = 1 \), każde otoczenie tych punktów również zawiera elementy zbioru \( B \) różne od \( x \), co ponownie oznacza, że są to punkty skupienia.
Otrzymujemy więc:
$$ B' = [0,1] $$
a stąd:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Ponieważ \( B = \text{Cl}(B) \), wnioskujemy, że zbiór \( B \) jest domknięty w \( \mathbb{R} \).
Dowód twierdzenia
Pokażemy teraz formalnie, że dla każdego zbioru \( A \subseteq X \) zachodzi równość: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Przypomnijmy kluczowe pojęcia:
- Domknięcie : \( \text{Cl}(A) \) jest częścią wspólną wszystkich zbiorów domkniętych zawierających zbiór \( A \).
- Punkt skupienia : punkt \( x \in X \) należy do \( A' \), jeżeli każde jego otwarte otoczenie zawiera punkt zbioru \( A \) różny od \( x \).
1] Inkluzja: \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Ponieważ z definicji \( A \subseteq \text{Cl}(A) \), wystarczy wykazać, że \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \).
Niech \( x \in A' \). Gdyby \( x \notin \text{Cl}(A) \), istniałoby otwarte otoczenie \( U \ni x \) takie, że \( U \cap A = \emptyset \). Jest to sprzeczne z faktem, że każde otoczenie punktu skupienia zawiera punkt zbioru \( A \). Stąd wynika, że:
$$ x \in \text{Cl}(A) \quad \text{i w konsekwencji} \quad A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] Inkluzja: \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Niech \( x \in \text{Cl}(A) \). Jeżeli \( x \in A \), teza jest spełniona w sposób oczywisty. Jeżeli natomiast \( x \notin A \), to z definicji domknięcia wynika, że każde otwarte otoczenie punktu \( x \) ma niepustą część wspólną ze zbiorem \( A \). Oznacza to, że \( x \) jest punktem skupienia, czyli:
$$ x \in A' \quad \text{a zatem} \quad x \in A \cup A' $$
Wniosek
Ponieważ obie inkluzje zostały wykazane, otrzymujemy ostatecznie:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Własność ta odgrywa fundamentalną rolę w topologii i stanowi jedno z podstawowych narzędzi opisu struktury zbiorów w przestrzeniach topologicznych.
