Jak wyznaczyć wnętrze zbioru w R

Wyznaczanie wnętrza zbioru w przestrzeni topologicznej z topologią standardową można w prosty sposób zilustrować za pomocą krótkiego skryptu w języku R. Takie podejście pozwala połączyć abstrakcyjne pojęcia topologiczne z praktycznymi obliczeniami.

Na początek zdefiniujmy dwa przedziały otwarte, oznaczone jako $ A $ oraz $ B $.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Powyższe wektory opisują odpowiednio przedziały otwarte $ (1, 3) $ oraz $ (0, 4) $ w zbiorze liczb rzeczywistych.

W szczególności przedział $ A $ odpowiada zbiorowi $ (1,3) $.

> cat("Przedział A :", A, "\n")

Przedział A : 1 3

Analogicznie, przedział $ B $ reprezentuje zbiór $ (0,4) $.

> cat("Przedział B :", B, "\n")

Przedział B : 0 4

Zdefiniujmy teraz funkcję, której zadaniem będzie numeryczne przybliżenie wnętrza rozważanych zbiorów.

W topologii wnętrze zbioru określa się jako sumę wszystkich zbiorów otwartych, które są w nim zawarte.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Taka konstrukcja pozwala w prosty sposób uzyskać przybliżenie wnętrza dla przedziałów $ A $ oraz $ B $.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Przejdźmy teraz do prezentacji otrzymanych wyników.

Wnętrze zbioru $ A = (1,3) $ jest równe sumie wszystkich zbiorów otwartych w nim zawartych, co w tym przypadku prowadzi do wniosku: $\text{Int}(A) = (1,3)$.

> cat("Wnętrze A :", Int_A, "\n")

Wnętrze A : 1.00001 2.99999

Podobnie, wnętrze zbioru $ B = (0,4) $ ma postać: $\text{Int}(B) = (0,4)$.

> cat("Wnętrze B :", Int_B, "\n")

Wnętrze B : 1e-05 3.99999

Zgodnie z klasyczną własnością wnętrza w topologii, jeżeli $ A \subseteq B $, to spełniona jest zależność: $$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

To twierdzenie można łatwo sprawdzić za pomocą poniższego fragmentu kodu:

cat("Czy Int(A) jest zawarte w Int(B) :", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Czy Int(A) jest zawarte w Int(B) : TRUE

Otrzymany wynik jednoznacznie potwierdza, że wnętrze zbioru $ A $ rzeczywiście zawiera się we wnętrzu zbioru $ B $.

Ten prosty przykład pokazuje, jak pojęcia topologiczne mogą być analizowane w przystępny i przejrzysty sposób, z wykorzystaniem języka R jako narzędzia wspomagającego rozumienie teorii.