Abschluss des Komplements und Komplement des Inneren einer Menge
In der Topologie gilt eine elegante Beziehung zwischen dem Abschluss und dem Inneren einer Menge \( A \): $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$ Das heißt: Der Abschluss des Komplements von \( A \) ist genau das Komplement des Inneren von \( A \).
Diese Gleichung bringt eine tiefe Dualität zwischen zwei grundlegenden topologischen Begriffen zum Ausdruck. Sie zeigt, wie eng Abschluss und Inneres miteinander verknüpft sind, sobald man sie im Zusammenhang mit komplementären Teilmengen eines topologischen Raums betrachtet.
Ein Veranschaulichendes Beispiel
Wir betrachten den topologischen Raum \( X = \mathbb{R} \) mit der üblichen Topologie, also mit offenen Mengen, die als Vereinigungen offener Intervalle definiert sind.
Sei \( A = [1,2] \) das abgeschlossene Intervall in \( \mathbb{R} \). Wir wollen prüfen, ob die Gleichung tatsächlich gilt. Dazu berechnen wir zuerst den Abschluss des Komplements von \( A \) und anschließend das Komplement des Inneren von \( A \).
1] Abschluss des Komplements von \( A \)
Das Komplement von \( A \) lautet: $$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Um den Abschluss zu finden, müssen wir alle Punkte hinzufügen, die Häufungspunkte dieser Menge sind. Offensichtlich sind \( 1 \) und \( 2 \) solche Punkte, denn jede noch so kleine Umgebung von \( 1 \) enthält Punkte aus \( (-\infty,1) \), und jede Umgebung von \( 2 \) enthält Punkte aus \( (2, \infty) \).
Der Abschluss lautet also:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Komplement des Inneren von \( A \)
Das Innere von \( A = [1,2] \) ist die größte offene Teilmenge, die in \( A \) enthalten ist, also: $$ \text{Int}(A) = (1,2) $$
Das Komplement davon in \( \mathbb{R} \) ist: $$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Vergleich der Ergebnisse
Wir erhalten denselben Ausdruck in beiden Fällen:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Damit ist klar, dass gilt:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Beweis der Gleichung
Sei \( A \subseteq X \) eine Teilmenge eines topologischen Raums \( X \).
Der Abschluss des Komplements von \( A \) enthält alle Punkte von \( X - A \) sowie deren Grenzpunkte: $$ \text{Cl}(X - A) $$
Das Komplement des Inneren von \( A \) besteht dagegen aus allen Punkten, die nicht innerlich zu \( A \) gehören: $$ X - \text{Int}(A) $$
Um zu zeigen, dass beide Mengen gleich sind, genügt es, die wechselseitigen Inklusionen zu beweisen:
- Erste Inklusion: \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Sei \( x \in \text{Cl}(X - A) \). Dann enthält jede Umgebung von \( x \) mindestens einen Punkt aus \( X - A \). Das bedeutet, dass \( x \) kein innerer Punkt von \( A \) sein kann, da sonst eine Umgebung vollständig in \( A \) enthalten wäre. Also gilt \( x \notin \text{Int}(A) \), und damit \( x \in X - \text{Int}(A) \). - Zweite Inklusion: \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Sei \( x \in X - \text{Int}(A) \). Dann ist \( x \) kein innerer Punkt von \( A \). Das bedeutet, dass jede Umgebung von \( x \) mindestens einen Punkt enthält, der nicht zu \( A \) gehört, also einen Punkt aus \( X - A \). Somit folgt \( x \in \text{Cl}(X - A) \).
Da beide Inklusionen gelten, folgt unmittelbar: $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Zusammenfassung
Die Beziehung $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$ zeigt auf anschauliche Weise, wie sich Abschluss und Inneres gegenseitig ergänzen. Im Rahmen der Topologie sind sie zwei Seiten derselben Struktur: Der eine „schließt“ die Menge von außen, der andere „öffnet“ sie von innen. Dieses Zusammenspiel ist eines der elegantesten Beispiele für die Symmetrie in der mathematischen Sprache der Topologie.
