Offene Mengen und das Innere einer Menge

Angenommen, $ U $ ist eine offene Teilmenge eines topologischen Raums $ X $ und es gilt $ U \subseteq A $. Dann liegt $ U $ vollständig im Inneren von $ A $: $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Das Innere einer Menge $ A $, geschrieben als $\text{Int}(A)$, ist die größte offene Teilmenge, die ganz in $ A $ enthalten ist.

Das bedeutet: Wenn eine offene Menge $ U $ in $ A $ liegt, gehört sie automatisch auch zu $\text{Int}(A)$. Denn $\text{Int}(A)$ umfasst alle offenen Teilmengen, die in $ A $ enthalten sind.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ ist offen in } X \} $$

Da $ U $ eine solche offene Teilmenge ist, erfüllt sie die Bedingung der Vereinigung und gehört damit zu dieser Familie.

Ein anschauliches Beispiel
Begründung

Ein anschauliches Beispiel

Betrachten wir zwei Mengen $ U $ und $ A $ im Raum $ \mathbb{R} $, versehen mit der üblichen Topologie. In dieser Topologie gelten offene Intervalle - und deren beliebige Vereinigungen - als offene Mengen.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

Die Menge $ U = (1, 2) $ ist offen, da sie ein offenes Intervall in $\mathbb{R}$ ist, also eine typische offene Menge in der Standardtopologie.

Zudem gilt $ U \subseteq A $, da jeder Punkt von $ U $ auch in $ A $ liegt.

Das Innere von $ A = [0, 3] $, also $\text{Int}(A)$, ist die größte offene Teilmenge, die vollständig in $ A $ enthalten ist. In diesem Fall ist das Intervall $(0, 3)$ das Innere von $ A $.

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

Damit sieht man leicht, dass $ U = (1, 2) $ in $(0, 3)$ enthalten ist, also gilt:

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Dieses Beispiel zeigt anschaulich, dass jede offene Teilmenge $ U \subseteq A $ automatisch im Inneren von $ A $ enthalten ist.

Begründung

Sei $ X $ ein topologischer Raum, $ A \subseteq X $, und $ U $ eine offene Teilmenge von $ X $ mit $ U \subseteq A $.

Voraussetzungen:

$ U $ ist offen in $ X $;
$ U \subseteq A $.

Per Definition ist das Innere von $ A $ die Vereinigung aller offenen Teilmengen, die vollständig in $ A $ enthalten sind.

Da $ U $ beide Bedingungen erfüllt, gehört sie zu dieser Familie offener Mengen, deren Vereinigung das Innere $\text{Int}(A)$ bildet.

Daraus folgt direkt: $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Mit anderen Worten: Jede offene Teilmenge, die in einer Menge $ A $ enthalten ist, befindet sich auch im Inneren von $ A $.

Damit ist die Aussage bewiesen und zugleich eine grundlegende Eigenschaft offener Mengen in der Topologie veranschaulicht.