Offene Mengen und ihr Inneres
Eine Teilmenge \( A \) eines topologischen Raums \( X \) ist genau dann offen, wenn sie mit ihrem Inneren übereinstimmt: $$ A = \text{Int}(A) $$
Einfach gesagt: Eine Menge ist offen, wenn jeder ihrer Punkte eine offene Umgebung besitzt, die vollständig in der Menge selbst liegt.
Das bedeutet: \( A \) ist offen genau dann, wenn \( A = \text{Int}(A) \), also wenn sie alle offenen Teilmengen enthält, die in ihr enthalten sind.
Das Innere einer Menge, \( \text{Int}(A) \), ist die größte offene Teilmenge, die in \( A \) enthalten ist. Man erhält sie, indem man alle offenen Mengen vereinigt, die vollständig in \( A \) liegen.
Ein anschauliches Beispiel
Betrachten wir den reellen Zahlenraum \( \mathbb{R} \) mit der Standardtopologie. In dieser Topologie ist jedes offene Intervall eine offene Menge.
Um die Beziehung \( A = \text{Int}(A) \) besser zu verstehen, sehen wir uns zwei einfache Beispiele an.
Beispiel 1
Sei \( A = (0, 1) \), also das offene Intervall zwischen 0 und 1.
$$ A = (0, 1) $$
Das Innere von \( A \) ist dasselbe wie die Menge selbst:
$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$
Da \( A \) mit seinem Inneren übereinstimmt, ist \( A \) eine offene Menge.
Beispiel 2
Betrachten wir nun das abgeschlossene Intervall \( B = [0,1] \).
$$ B = [0, 1] $$
Das Innere von \( B \) ist das offene Intervall \( (0,1) \), das die Randpunkte 0 und 1 ausschließt.
$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$
Da \( B \ne \text{Int}(B) \), ist \( B \) keine offene Menge.
Hinweis: Das Innere einer Menge zeigt, welche Punkte von einer offenen Umgebung derselben umgeben sind. Dadurch lässt sich leicht erkennen, ob eine Menge offen ist oder nicht.
Beweisidee
Warum gilt \( A = \text{Int}(A) \) genau dann, wenn \( A \) offen ist? Schauen wir uns das Schritt für Schritt an.
1] Wenn \( A \) offen ist, dann gilt \( \text{Int}(A) = A \)
Ist \( A \) offen, so hat jeder Punkt \( x \in A \) eine offene Umgebung \( U \subseteq A \). Damit liegt jeder Punkt von \( A \) auch in \( \text{Int}(A) \), und es gilt:
$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$
Da \( \text{Int}(A) \) definitionsgemäß die größte offene Teilmenge von \( A \) ist, gilt gleichzeitig:
$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$
Beide Inklusionen zusammen ergeben:
$$ A = \text{Int}(A) $$
2] Wenn \( A = \text{Int}(A) \), dann ist \( A \) offen
Sei umgekehrt \( A = \text{Int}(A) \). Dann gilt für jeden Punkt \( x \in A \), dass \( x \in \text{Int}(A) \) ist. Nach Definition bedeutet das, dass es eine offene Menge \( U \subseteq A \) gibt, die \( x \) enthält.
Somit besitzt jeder Punkt von \( A \) eine offene Umgebung, die in \( A \) enthalten ist, also ist \( A \) offen.
3] Fazit
Wir können also zusammenfassen: Eine Teilmenge \( A \subseteq X \) ist genau dann offen, wenn sie mit ihrem Inneren übereinstimmt. $$ A = \text{Int}(A) $$
Diese Eigenschaft ist eines der grundlegenden Kriterien der Topologie und hilft, offene Mengen in jedem topologischen Raum klar zu identifizieren.
