Granica kao presjek zatvorenja skupa i zatvorenja njegova komplementa

Neka je \( A \) podskup topološkog prostora \( X \). Granica \( \partial A \) definira se kao skup svih točaka koje pripadaju i zatvorenju skupa \( A \) i zatvorenju njegova komplementa: $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Ova definicija daje vrlo intuitivnu sliku. Granicu čine točke koje su, u topološkom smislu, "na dodiru" dvaju svjetova: skupa \( A \) i svega što nije u \( A \).

Drugim riječima, točka pripada granici ako joj se možemo približiti i iz \( A \) i iz komplementa. Zato se granica prirodno pojavljuje kao presjek dvaju zatvorenja.

Konkretan primjer

Razmotrimo skup \( A = (0, 1) \), otvoreni interval na realnoj pravoj \(\mathbb{R}\).

Zatvorenje intervala sadrži sve točke između 0 i 1, uključujući krajnje vrijednosti:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Komplement skupa \( A \) u \(\mathbb{R}\) jest:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Budući da je taj skup već zatvoren, njegovo zatvorenje ostaje isto:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Sada izračunajmo granicu kao presjek zatvorenja:

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

Presjek zadržava samo zajedničke točke:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Granica otvorenog intervala \( (0, 1) \) sastoji se upravo od njegovih krajnjih točaka.

Dokaz

Prema definiciji, granica \(\partial A\) podskupa \( A \subseteq X \) sastoji se od točaka \( x \in X \) takvih da svaka okolina točke \( x \) siječe i \( A \) i komplement \( X \setminus A \):

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{i} \ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

gdje \(\mathcal{N}(x)\) označava familiju okolina točke \( x \).

Dokaz se provodi u dva jednostavna koraka.

1] Vrijedi \( \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \)

Neka je \( x \in \partial A \). Tada svaka okolina točke \( x \) siječe i \( A \) i \( X \setminus A \). Prema definiciji zatvorenja:

• \( x \in \text{Cl}(A) \)
• \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \)

Odnosno:

$$ x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

2] Vrijedi \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A \)

Neka je \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \). Tada:

• svaka okolina točke \( x \) siječe \( A \)
• svaka okolina točke \( x \) siječe \( X \setminus A \)

Što je upravo uvjet za pripadnost granici:

$$ x \in \partial A $$

Zaključak

Budući da vrijede obje inkluzije, dobivamo:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Time je dokaz dovršen.