Produktna topologija

Neka su zadana dva topološka prostora $X$ i $Y$. Produktna topologija na $X \times Y$ definira se kao topologija generirana bazom $B$, koja se sastoji od kartezijskih produkata otvorenih skupova oblika $U \times V$, gdje je $U$ otvoren skup u $X$, a $V$ otvoren skup u $Y$. $$ B = \{ U \times V \mid U \text{ je otvoren u } X \text{ i } V \text{ je otvoren u } Y \} $$

Ideja je jednostavna: kako bismo definirali topologiju na produktu $X \times Y$, polazimo od najosnovnijih „blokova", a to su skupovi oblika $U \times V$, gdje su $U$ i $V$ otvoreni u svojim prostorima.

Skup svih takvih produkata čini familiju $B$, koja predstavlja bazu topologije.

Baza topologije je kolekcija otvorenih skupova iz kojih se mogu dobiti svi ostali otvoreni skupovi, jednostavno uzimanjem njihovih unija.

Važna činjenica je da u produktnoj topologiji kartezijanski produkt dvaju otvorenih skupova uvijek daje otvoren skup.

Napomena : Otvoreni skupovi u produktnoj topologiji nisu samo skupovi oblika $U \times V$. Oni uključuju i sve moguće unije takvih skupova. Zato skup $B$ nije sama topologija, nego samo njezina baza. Kada bismo ga promatrali kao topologiju, propustili bismo mnoge otvorene skupove koji nastaju unijama.

Isti princip vrijedi i za zatvorene skupove.

U produktnoj topologiji kartezijanski produkt dvaju zatvorenih skupova također je zatvoren skup.

Ipak, nije svaki zatvoreni skup moguće zapisati kao produkt zatvorenih skupova.

Drugim riječima, kao i kod otvorenih skupova, postoje zatvoreni skupovi koji ne nastaju kao jednostavni kartezijski produkti.

Primjer
Produkt konačnog broja topoloških prostora
Baza produktne topologije
Završne napomene

Primjer

Kako to izgleda u praksi, najbolje se vidi na konkretnom primjeru.

Razmotrimo sljedeće topološke prostore :

$X = \mathbb{R}$, realna prava s uobičajenom topologijom (otvoreni intervali $(a, b)$)
$Y = \mathbb{R}$, također s uobičajenom topologijom

Njihov produkt $X \times Y$ je kartezijanska ravnina $\mathbb{R}^2$.

Baza produktne topologije sastoji se od svih skupova oblika $U \times V$, gdje su $U$ i $V$ otvoreni intervali.

Na primjer, uzmimo :

$U = (1, 2)$ i $V = (3, 4)$

Tada je $U \times V = (1, 2) \times (3, 4)$ otvoren skup u $\mathbb{R}^2$, koji možemo zamisliti kao otvoreni pravokutnik u ravnini.

otvoreni pravokutnik u kartezijanskoj ravnini

Pogledajmo sada što se događa kada uzmemo dva takva skupa i spojimo ih.

$U_1 \times V_1 = (1, 2) \times (3, 4)$

$U_2 \times V_2 = (1.5, 2.5) \times (3.5, 4.5)$

Oba predstavljaju otvorene pravokutnike.

unija otvorenih pravokutnika u ravnini

Njihova unija više nije jedan jedini produkt $U \times V$, ali je i dalje otvoren skup jer je sastavljena od elemenata baze :

$$ (1, 2) \times (3, 4) \cup (1.5, 2.5) \times (3.5, 4.5) $$

Ovo je ključna ideja: otvoreni skupovi nastaju kombiniranjem jednostavnijih skupova iz baze.

Na primjer, točka $(1.8, 3.8)$ nalazi se u jednom od tih pravokutnika, pa i u njihovoj uniji.

točka koja pripada uniji otvorenih skupova

Ovaj primjer jasno pokazuje kako baza $B$ generira cijelu topologiju na prostoru $X \times Y$.

Napomena : Produktna topologija je posebno važna jer omogućuje da se struktura otvorenih skupova prostora $X$ i $Y$ prirodno prenese na njihov produkt.

Primjer 2

Razmotrimo sada jednostavniji, konačni primjer.

$X = \{a, b, c\}$ s topologijom $\{\emptyset, \{a\}, \{b, c\}, X\}$
$Y = \{1, 2\}$ s topologijom $\{\emptyset, \{1\}, Y\}$

Da bismo izgradili produktnu topologiju na $X \times Y$, računamo sve kartezijske produkte otvorenih skupova, a zatim njihove unije.

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ je otvoren u } X \text{ i } V \text{ je otvoren u } Y \} $$

Otvoreni skupovi u $X$ su :

$\emptyset$
$\{a\}$
$\{b, c\}$
$X$

Otvoreni skupovi u $Y$ su :

$\emptyset$
$\{1\}$
$Y$

Izračunajmo sada sve kartezijske produkte :

$\emptyset \times \emptyset = \emptyset$
$\emptyset \times \{1\} = \emptyset$
$\emptyset \times Y = \emptyset$
$\{a\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\}$
$\{a\} \times Y = \{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{b, c\} \times \emptyset = \emptyset$
$\{b, c\} \times \{1\} = \{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{b, c\} \times Y = \{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$X \times \emptyset = \emptyset$
$X \times \{1\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y = \{(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$

Napomena : Kartezijanski produkt dvaju skupova definira se kao skup svih uređenih parova $(a, b)$ takvih da je $a \in A$ i $b \in B$. Ako je jedan od skupova prazan, produkt je također prazan.

Produktna topologija zatim uključuje sve moguće unije ovih skupova.

Na primjer :

$\{(a, 1)\} \cup \{(b, 1), (c, 1)\} = \{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$

Takvi skupovi su također otvoreni.

Zaključno, u produktnoj topologiji otvoreni skupovi nastaju kombiniranjem osnovnih skupova $U \times V$, a ne samo kao pojedinačni produkti.

Baza $B$ sastoji se upravo od nepraznih kartezijskih produkata :

$\{(a, 1)\}$
$\{(a, 1), (a, 2)\}$
$\{(b, 1), (c, 1)\}$
$\{(b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)\}$
$\{(a, 1), (b, 1), (c, 1)\}$
$X \times Y$

Produkt konačnog broja topoloških prostora

Pojam produktne topologije lako se proširuje i na slučaj kada imamo više od dva prostora. Ideja ostaje ista, samo se broj faktora povećava.

Neka je dano $ n $ topoloških prostora $ X_1, X_2, \dots, X_n $. Ako za svaki $ i $ uzmemo otvoren skup $ U_i \subseteq X_i $, tada skup svih kartezijskih produkata $ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n $ čini bazu jedne topologije na prostoru $ X_1 \times \cdots \times X_n $. $$ B = \{ U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n \mid U_i \text{ je otvoren u } X_i \text{ za svaki } i \} $$

Drugim riječima, osnovni otvoreni skupovi u ovom prostoru dobivaju se kombiniranjem otvorenih skupova iz svakog pojedinačnog prostora.

Baza produktne topologije

U najjednostavnijem slučaju, baza produktne topologije na $ X \times Y $ sastoji se od svih skupova oblika $ U \times V $, gdje su $ U $ i $ V $ otvoreni :

$$ B = \{ U \times V \mid U \text{ je otvoren u } X, \ V \text{ je otvoren u } Y \} $$

Ova konstrukcija je potpuno ispravna, ali u praksi često daje vrlo velik broj skupova.

Zato se obično koristi učinkovitiji pristup koji polazi od baza prostora $ X $ i $ Y $.

Ako je $ B_X $ baza topologije na $ X $, a $ B_Y $ baza topologije na $ Y $, tada skup svih produkata $ U \times V $, gdje je $ U \in B_X $ i $ V \in B_Y $, čini bazu produktne topologije : $$ B = \{ U \times V \mid U \in B_X, \ V \in B_Y \} $$

Na taj način dobivamo manju i pregledniju kolekciju skupova, koja ipak generira cijelu topologiju.

To znači da se svaki otvoreni skup u $ X \times Y $ može zapisati kao unija ovih jednostavnijih „pravokutnih“ skupova.

Napomena : Ova ideja se bez promjena proširuje na konačan broj prostora. Ako je za svaki $ X_i $ dana baza $ B_i $, tada svi produkti $ U_1 \times \cdots \times U_n $, gdje je $ U_i \in B_i $, čine bazu produktne topologije na $ X_1 \times \cdots \times X_n $.

Primjer

Razmotrimo dva vrlo jednostavna konačna prostora.

$ X = \{a, b\} $, s topologijom $ \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $
$ Y = \{1, 2\} $, s topologijom $ \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\} $

Njihove minimalne baze su :

$$ B_X = \{\{a\}, \{b\}\}, \quad B_Y = \{\{1\}, \{2\}\} $$

Za izgradnju baze produktne topologije dovoljno je uzeti sve moguće produkte elemenata iz $ B_X $ i $ B_Y $.

Dobivamo :

$$ \{a\} \times \{1\} = \{(a, 1)\}, \quad \{a\} \times \{2\} = \{(a, 2)\} $$

$$ \{b\} \times \{1\} = \{(b, 1)\}, \quad \{b\} \times \{2\} = \{(b, 2)\} $$

Ovi skupovi čine minimalnu bazu :

$$ B_{\text{min}} = \{\{(a, 1)\}, \{(a, 2)\}, \{(b, 1)\}, \{(b, 2)\}\} $$

Iako su vrlo jednostavni, oni su dovoljni za generiranje svih otvorenih skupova u $ X \times Y $.

Važna ideja : složeni otvoreni skupovi dobivaju se kombiniranjem ovih osnovnih, „atomskih“ skupova.

Dokaz

Pokažimo sada zašto skup $ B = \{U \times V \mid U \in B_X, V \in B_Y\} $ zaista čini bazu.

Znamo da su $ B_X $ i $ B_Y $ baze, pa se svaki otvoreni skup u $ X $ i $ Y $ može zapisati kao unija elemenata tih baza.

U produktnoj topologiji, otvoreni skupovi su unije skupova oblika $ U \times V $.

Uzmimo neki otvoreni skup $ W \subseteq X \times Y $ i točku $ (x, y) \in W $.

Po definiciji produktne topologije, postoji otvoreni skup oblika $ U' \times V' $ takav da :

$$ (x, y) \in U' \times V' \subseteq W $$

Budući da je $ B_X $ baza, postoji $ U \in B_X $ s $ x \in U \subseteq U' $. Isto vrijedi i za $ Y $, pa postoji $ V \in B_Y $ s $ y \in V \subseteq V' $.

Zato vrijedi :

$$ (x, y) \in U \times V \subseteq W $$

To znači da svaka točka otvorenog skupa $ W $ pripada nekom elementu baze koji je ujedno sadržan u $ W $.

Zaključak

Prema tome, skup $ B $ generira cijelu produktnu topologiju, odnosno čini njezinu bazu.

Dokaz je time dovršen.

Završne napomene

Neki korisni rezultati povezani s produktnom topologijom :

Teorem o produktu potprostora
Ako su $ A \subseteq X $ i $ B \subseteq Y $, tada topologija na $ A \times B $ inducirana iz $ X \times Y $ odgovara produktnoj topologiji dobivenoj iz $ A $ i $ B $.
Topološka ekvivalencija produkata
Za tri prostora $ X, Y, Z $, vrijedi da su $ (X \times Y) \times Z $, $ X \times (Y \times Z) $ i $ X \times Y \times Z $ međusobno homeomorfni.
Teorem o unutrašnjosti kartezijskog produkta
Za skupove $ A \subseteq X $ i $ B \subseteq Y $, vrijedi : $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$