Gusti podskupovi u topologiji

U topološkom prostoru $ X $, podskup $ A $ naziva se gust ako je njegovo zatvaranje jednako cijelom prostoru: $$ \text{Cl}(A) = X $$

Jednostavno rečeno, gust podskup je skup koji se u topološkom smislu nalazi svuda u prostoru. Svaka tačka iz $ X $ ili pripada skupu $ A $, ili joj se može proizvoljno približiti pomoću elemenata iz $ A $.

Zatvaranje podskupa obuhvata sve njegove tačke, kao i sve njegove tačke nagomilavanja, odnosno sve tačke koje se mogu dobiti kao granice nizova iz tog skupa.

Primjeri

Primjer 1

U standardnoj topologiji na $ \mathbb{R} $, skup racionalnih brojeva $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ je gust.

Između bilo koja dva realna broja uvijek postoji racionalan broj. Zbog toga se svaki realan broj može aproksimirati proizvoljno blisko racionalnim brojevima.

Zatvaranje skupa $ \mathbb{Q} $ jednako je cijeloj realnoj pravoj:

$$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

To znači da su racionalni brojevi gusti u $ \mathbb{R} $.

Napomena. Isto važi i za skup iracionalnih brojeva $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $. Svaki realan broj može se aproksimirati iracionalnim brojevima, pa vrijedi: $$ \text{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Primjer 2

U topologiji konačnog komplementa na $ \mathbb{R} $, skup $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ je takođe gust.

U ovoj topologiji skup je otvoren ako je njegov komplement konačan.

Pošto je komplement skupa $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ konačan skup $ \{0\} $, ovaj skup je otvoren.

Da bismo odredili njegovo zatvaranje, posmatramo njegove tačke nagomilavanja.

Dodavanjem tačke 0 dobijamo cijeli prostor. Ne postoji nijedan zatvoren skup strogo sadržan u $ \mathbb{R} $ koji sadrži $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $. Zato važi:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Prema tome, ovaj skup je gust u $ \mathbb{R} $.

Napomena. Ovaj primjer pokazuje važno svojstvo topologije konačnog komplementa: svaki beskonačan podskup je gust. Razlog je što su jedini netrivijalni zatvoreni skupovi konačni skupovi i cijeli prostor $ \mathbb{R} $.

Primjer 3

U standardnoj topologiji na $ \mathbb{R} $, otvoreni interval $ (0,1) $ nije gust.

Njegovo zatvaranje je zatvoreni interval $ [0,1] $, jer su krajnje tačke 0 i 1 njegove tačke nagomilavanja:

$$ \text{Cl}((0,1)) = [0,1] $$

Pošto se ovo zatvaranje ne poklapa sa cijelim prostorom $ \mathbb{R} $, skup $ (0,1) $ nije gust u $ \mathbb{R} $.

Napomena. Ako isti skup posmatramo kao podskup od $ [0,1] $, sa podprostornom topologijom, tada postaje gust u tom prostoru. Njegovo zatvaranje je tada $ [0,1] $. Ovaj primjer jasno pokazuje da pojam gustine zavisi od prostora u kojem posmatramo skup.

I tako dalje.