Tačke nagomilavanja u topologiji

U topološkom prostoru \(X\), tačka \(x\) naziva se tačka nagomilavanja podskupa \(A \subseteq X\) ako svaka okolina tačke \(x\) sadrži barem jednu tačku iz skupa \(A\) različitu od same tačke \(x\).

Drugim riječima, koliko god „približili" posmatranje tački \(x\), u njenoj okolini uvijek nalazimo neku drugu tačku iz skupa \(A\).

Formalno, tačka \(x\) je tačka nagomilavanja skupa \(A\) ako za svaku okolinu \(U\) tačke \(x\) vrijedi

$$ (U \setminus \{x\}) \cap A \neq \emptyset $$

Važno je naglasiti da tačka nagomilavanja ne mora pripadati skupu \(A\); ona može ležati i izvan tog skupa.

U realnom topološkom prostoru \(\mathbb{R}\), ovaj pojam je lako vizualizirati. Tačka \(x\) je tačka nagomilavanja skupa \(A\) ako svaki otvoreni interval oblika \((x-\epsilon, x+\epsilon)\), koliko god bio mali, sadrži barem jednu tačku iz \(A\) različitu od \(x\).

Ova ideja se direktno prenosi i na više dimenzije. U prostoru \(\mathbb{R}^n\), tačka \(x\) je tačka nagomilavanja skupa \(A\) ako svaka njena okolina siječe skup \(A\) u nekoj tački različitoj od \(x\). Iako je princip isti, geometrijska intuicija u višim dimenzijama može biti manje neposredna.

Konkretni primjeri

Razmotrimo skup \(A \subseteq \mathbb{R}\) sa standardnom topologijom.

$$ A = \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Ovaj skup sadrži tačke \( \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \ldots \), odnosno niz \(\{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \}\).

Pogledajmo da li je \(0\) tačka nagomilavanja skupa \(A\).

Svaka okolina tačke \(0\) sadrži neki otvoreni interval \((a, b)\) sa \(a < 0 < b\).

Pošto \(\frac{1}{n} \to 0\) kada \(n \to \infty\), za dovoljno velik \(n\) vrijedi \(\frac{1}{n} \in (a, b)\).

To znači da svaka okolina tačke \(0\) sadrži elemente skupa \(A\) različite od \(0\).

Zato je \(0\) tačka nagomilavanja skupa \(A\).

Primjer 2

Razmotrimo sada skup \(B \subseteq \mathbb{R}\).

$$ B = \left\{ n + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^+ \right\} $$

Njegovi elementi su \(2, 2.5, 3.333\ldots, \ldots\).

Fokusirajmo se na tačku \(1\).

Svaka njena okolina sadrži interval \((a, b)\) sa \(a < 1 < b\).

Međutim, svi elementi skupa \(B\) su strogo veći od \(1\).

Ako uzmemo dovoljno malu okolinu tačke \(1\), ona neće sadržati nijedan element skupa \(B\).

Prema tome, postoji okolina tačke \(1\) koja ne siječe skup \(B\), pa \(1\) nije tačka nagomilavanja skupa \(B\).

Primjer 3

Razmotrimo interval \((0, 1]\) kao podskup realne prave.

Cilj je odrediti sve njegove tačke nagomilavanja.

Po definiciji, tačka \(x\) je tačka nagomilavanja ako svaka njena okolina sadrži neku drugu tačku iz \((0, 1]\).

1. Unutarnje tačke intervala \((0,1]\)
   Za svaku tačku \(x \in (0, 1]\), svaka njena okolina sadrži otvoreni interval \((a, b)\) sa \(a < x < b\). Taj interval uvijek sadrži beskonačno mnogo tačaka iz \((0, 1)\), pa i tačke različite od \(x\).
   Zato je svaka tačka \(x \in (0, 1]\) tačka nagomilavanja.
   
2. Rubne tačke
   Posmatrajmo krajeve intervala: \(0\) i \(1\).
   - Tačka \(0\): Iako ne pripada intervalu, svaka njena okolina sadrži pozitivne tačke iz \((0, 1]\). Zato je \(0\) tačka nagomilavanja.
   
   - Tačka \(1\): Budući da pripada intervalu, svaka njena okolina sadrži tačke iz \((0, 1)\) različite od nje. Dakle, i \(1\) je tačka nagomilavanja.
   
3. Tačke izvan intervala \([0, 1]\)
   Ako je \(x < 0\) ili \(x > 1\), moguće je izabrati dovoljno malu okolinu tačke \(x\) koja uopšte ne siječe interval \((0, 1]\).
   

   Na primjer, za \(x < 0\) uzmemo \((x - \epsilon, x + \epsilon)\) sa dovoljno malim \(\epsilon\), tako da ne sadrži nijednu tačku iz \((0, 1]\). Slično važi i za \(x > 1\). Zato nijedna tačka izvan \([0, 1]\) nije tačka nagomilavanja.

Zaključno, skup svih tačaka nagomilavanja intervala \((0, 1]\) je zatvoreni interval \([0, 1]\).

Primjer 4

Odredimo skup tačaka nagomilavanja skupa \( A = (0, 1] \) u topologiji donje granice na \(\mathbb{R}\).

Topologija donje granice na \(\mathbb{R}\) zasniva se na intervalima oblika \([a, b)\), gdje je \( a < b \). Svi otvoreni skupovi dobijaju se kao proizvoljne unije takvih intervala.

Podsjetimo se definicije: tačka \(x\) je tačka nagomilavanja skupa \(A\) ako svaka njena okolina sadrži barem jednu tačku iz \(A\) različitu od \(x\).

Analizu ćemo napraviti razmatrajući različite položaje tačke \(x\).

• Tačke unutar intervala \( (0, 1) \)
  Ako je \(x \in (0, 1)\), svaka njegova okolina sadrži interval oblika \([x, x + \epsilon)\). Takav interval uvijek sadrži beskonačno mnogo tačaka iz skupa \(A\), pa u njemu sigurno postoji tačka različita od \(x\).
  Zato je svaka tačka iz \( (0, 1) \) tačka nagomilavanja.
• Tačka \(x = 1\)
  Okoline tačke \(1\) imaju oblik \([1, 1 + \epsilon)\). Međutim, skup \(A = (0,1]\) ne sadrži nijednu tačku veću od \(1\).
  To znači da u dovoljno maloj okolini tačke \(1\) nema nijedne tačke iz \(A\) različite od \(1\).
  Prema tome, \(1\) nije tačka nagomilavanja.
• Tačka \(x = 0\)
  Svaka okolina tačke \(0\) sadrži interval \([0, \epsilon)\), koji obuhvata beskonačno mnogo tačaka iz skupa \(A\).
  Zbog toga je \(0\) tačka nagomilavanja.
• Tačke izvan intervala
  Ako je \(x < 0\) ili \(x > 1\), moguće je izabrati dovoljno malu okolinu \([x, x + \epsilon)\) koja uopšte ne siječe skup \(A\).
  Takve tačke nisu tačke nagomilavanja.

Zaključak je jasan: skup svih tačaka nagomilavanja skupa \( A = (0, 1] \) u ovoj topologiji jednak je intervalu \([0, 1)\).

Drugim riječima, jedina tačka koja ne pripada ovom skupu je \(1\).

Napomene

Na kraju, vrijedi istaknuti nekoliko važnih činjenica koje pomažu da se ova tema bolje razumije.

• Zatvaranje skupa
  Zatvaranje skupa \(A\) dobija se dodavanjem svih njegovih tačaka nagomilavanja:
  $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$ To znači da zatvaranje obuhvata i tačke iz samog skupa i one koje mu se „približavaju“.
• Konvergencija nizova
  Ako je \(x\) tačka nagomilavanja skupa \(A\), tada postoji niz elemenata iz \(A\) (različitih od \(x\)) koji konvergira ka \(x\).
  Važno je primijetiti da \(x\) ne mora pripadati skupu \(A\).
• Jedinstvenost limesa
  U standardnoj topologiji na \(\mathbb{R}\), limes niza je jedinstven. Međutim, u opštim topološkim prostorima to ne mora važiti.
  U prostorima koji nisu Hausdorffovi, isti niz može imati više različitih limesa.

Ove ideje pokazuju koliko su tačke nagomilavanja važne za razumijevanje ponašanja skupova u topologiji.