Zatvaranje skupa jednako je uniji skupa i skupa njegovih tačaka nagomilavanja
Zatvaranje skupa \( A \) u topološkom prostoru \( X \), označeno sa \(\text{Cl}(A)\), definiše se kao unija skupa \( A \) i skupa \( A' \) njegovih tačaka nagomilavanja: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Ova formula daje jasnu i standardnu sliku o tome šta znači zatvaranje skupa u topologiji. Intuitivno, zatvaranje dodaje skupu sve tačke koje su mu „beskonačno blizu".
Zatvaranje skupa \( A \) zato obuhvata ne samo tačke koje već pripadaju skupu, već i sve one koje se mogu aproksimirati elementima skupa.
Važno je naglasiti da tačke nagomilavanja ne moraju nužno pripadati samom skupu \( A \).
Ova teorema implicira da je skup \( A \) zatvoren ako i samo ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja. $$ A \text{ je zatvoren } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Drugim riječima, skup je zatvoren ako i samo ako se poklapa sa svojim zatvaranjem.
Ilustrativni primjer
Neka je \( A = (0, 1) \), podskup skupa \( \mathbb{R} \), opremljen standardnom topologijom.
$$ A = (0,1) $$
Ovaj skup sadrži sve realne brojeve strogo između 0 i 1.
Pogledajmo koje su njegove tačke nagomilavanja:
- Svaka tačka \( x \in (0,1) \) jeste tačka nagomilavanja, jer svako otvoreno okruženje tačke \( x \) sadrži i druge elemente skupa \( A \).
- Tačka \( 0 \) je takođe tačka nagomilavanja, jer svaki interval \( (0, \varepsilon) \), gdje je \( \varepsilon > 0 \), sadrži elemente skupa \( A \).
- Isto važi i za tačku \( 1 \), jer svako otvoreno okruženje koje je sadrži uključuje i tačke iz skupa \( A \).
Prema tome, skup tačaka nagomilavanja je:
$$ A' = [0,1] $$
Sada možemo odrediti zatvaranje skupa:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Vidimo da zatvaranje sadrži i krajnje tačke 0 i 1, koje nisu u početnom skupu. Zato \( A \) nije zatvoren skup:
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Primjer 2
Razmotrimo sada skup \( B = [0, 1] \).
$$ B = [0,1] $$
Ovaj skup već uključuje i svoje krajnje tačke.
Odredimo njegove tačke nagomilavanja:
- Svaka tačka \( x \in (0,1) \) jeste tačka nagomilavanja, jer svako otvoreno okruženje tačke \( x \) sadrži druge tačke iz skupa \( B \).
- Tačke \( 0 \) i \( 1 \) su takođe tačke nagomilavanja, jer svako njihovo otvoreno okruženje presijeca interval u drugim tačkama.
Prema tome:
$$ B' = [0,1] $$
Zatvaranje skupa je:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
U ovom slučaju skup se poklapa sa svojim zatvaranjem, pa zaključujemo da je \( B \) zatvoren:
$$ B = \text{Cl}(B) $$
Ovaj primjer jasno pokazuje osnovni kriterij: skup je zatvoren ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja.
Formalni dokaz
Pokazaćemo da za svaki podskup \( A \subseteq X \) važi:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
gdje \( A' \) označava skup tačaka nagomilavanja skupa \( A \).
Podsjetimo se ključnih definicija:
- Zatvaranje skupa \( A \) : presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže \( A \).
- Tačka nagomilavanja : tačka \( x \in X \) je tačka nagomilavanja skupa \( A \) ako svako njeno otvoreno okruženje sadrži barem jedan element iz \( A \setminus \{x\} \).
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Pošto zatvaranje sadrži skup \( A \), imamo:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Neka je \( x \in A' \). Svako otvoreno okruženje tačke \( x \) sadrži elemente skupa \( A \setminus \{x\} \). Ako bi važilo \( x \notin \text{Cl}(A) \), postojalo bi otvoreno okruženje \( U \) takvo da je \( U \cap A = \emptyset \), što je kontradikcija.
Prema tome:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Odavde slijedi:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Neka je \( x \in \text{Cl}(A) \). Ako je \( x \in A \), tvrdnja je očigledna.
Ako \( x \notin A \), tada svako otvoreno okruženje tačke \( x \) siječe skup \( A \), što znači da je \( x \) tačka nagomilavanja.
Otuda:
$$ x \in A' \quad \Rightarrow \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Zaključak
Pošto važe obje inkluzije:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{i} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
dobijamo jednakost:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Time je dokaz završen.
