Konvergencija nizova u topološkom prostoru

U topološkom prostoru $ X $, kažemo da je tačka $ x \in X $ limes niza $ (x_n) $ ako za svako susedstvo $ U $ tačke $ x $ postoji prirodan broj $ N $ takav da za svaki $ n \geq N $ važi $ x_n \in U $.

Drugim riječima, niz $ (x_n) $ konvergira ka tački $ x $ ako od nekog indeksa nadalje svi njegovi članovi ostaju unutar svakog susedstva tačke $ x $.

Ova definicija se može zapisati i u standardnom matematičkom obliku:

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

Kada je ovaj uslov ispunjen, kažemo da je $ x $ limes niza $ (x_n) $.

Ilustrativni primjer

Da bismo bolje razumjeli definiciju, posmatrajmo konkretan primjer. Uzmimo niz

$$ x_n = \frac{1}{n} $$

u topološkom prostoru $ X = \mathbb{R} $, opremljenom standardnom topologijom.

Naš cilj je pokazati da ovaj niz konvergira ka 0, odnosno da je $ 0 $ njegov limes.

Uzmimo proizvoljno susedstvo $ U $ tačke 0. U standardnoj topologiji na $ \mathbb{R} $, svako takvo susedstvo sadrži neki otvoreni interval oblika $ (-\epsilon, \epsilon) $, gdje je $ \epsilon > 0 $.

Potrebno je pronaći prirodan broj $ N $ takav da za svaki $ n \geq N $ važi:

$$ \frac{1}{n} \in (-\epsilon, \epsilon) $$

Ako je dato $ \epsilon > 0 $, dovoljno je izabrati

$$ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil $$

Tada, za svaki $ n \geq N $, imamo:

$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n} \leq \epsilon $$

Odakle slijedi:

$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon \quad \text{za svaki } n \geq N $$

To znači da, od nekog trenutka nadalje, svi članovi niza upadaju u bilo koje izabrano susedstvo tačke 0.

Zaključujemo:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Dakle, broj 0 je limes niza $ \left( \frac{1}{n} \right) $.

Za intuitivno razumijevanje, pogledajmo prvih deset članova niza:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{1}{n} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \\ 4 & 0.25 \\ 5 & 0.2 \\ 6 & 0.167 \\ 7 & 0.143 \\ 8 & 0.125 \\ 9 & 0.111 \\ 10 & 0.1 \\ \hline \end{array} $$

Vidimo da vrijednosti niza postaju sve manje i sve bliže nuli.

Na primjer, ako uzmemo $ N = 5 $, tada je $ x_5 = 0.2 $, i svi naredni članovi niza nalaze se u intervalu $ (0, 0.2) $.

prikaz približavanja članova niza nuli

Ako uzmemo veći indeks, na primjer $ N = 10 $, tada je $ x_{10} = 0.1 $, i svi naredni članovi nalaze se unutar još manjeg susedstva $ (0, 0.1) $.

grafički prikaz konvergencije niza prema nuli

Ovaj proces se nastavlja beskonačno, pri čemu se članovi niza sve više približavaju nuli, ali je nikada ne prelaze.

Upravo to je suština konvergencije u topološkom prostoru.