Digitalna topologija (topologija diskretnih prostora)

Digitalna topologija (digital topology) proučava kako su tačke povezane u diskretnim prostorima, kao što su mreže tačaka (pikseli u 2D ili vokseli u 3D). Fokus je na tome kako se tačke međusobno dodiruju, odnosno kako se definiše njihovo susedstvo (adjacencija).

Za razliku od klasične topologije, ovde se ne radi o kontinuiranim prostorima, već o diskretnim strukturama. Zbog toga se otvoreni skupovi određuju na osnovu veza između tačaka, pri čemu tip povezanosti zavisi od izabranog modela, na primer povezanost 4 ili 8 u 2D, odnosno 6, 18 ili 26 u 3D prostoru.

Digitalna topologija se danas široko koristi u obradi slike, kompjuterskoj grafici i računalnom vidu, jer omogućava da se matematički modeli primene na digitalne slike i trodimenzionalne prikaze.

Otvoreni skupovi u digitalnoj topologiji

Skup \(U\) naziva se otvorenim ako za svaku tačku \(x \in U\) važi da sve tačke koje su joj susedne - prema izabranom pravilu povezanosti - takođe pripadaju skupu \(U\).

Drugim rečima, ako neka tačka pripada skupu, tada i sve tačke koje su s njom direktno povezane moraju biti deo istog skupa.

Pojam susedstva zavisi od načina na koji definišemo povezanost između tačaka. Evo nekoliko tipičnih primera:

Na kružnoj ili prstenastoj mreži, svaka tačka ima tačno dva suseda. To odgovara povezanosti 2.

U dvodimenzionalnoj mreži (2D), tačka može imati četiri suseda - gore, dole, levo i desno - ili osam suseda ako uključimo i dijagonale.

U trodimenzionalnom prostoru (3D), broj suseda može biti 6, 18 ili 26, u zavisnosti od toga koliko veza između tačaka uzimamo u obzir.

Primer

Zamislimo skup tačaka raspoređenih u krug, sa povezanošću 2.

Svaka tačka ima dva suseda, jednog sa leve i jednog sa desne strane.

Na primer, tačka 2 je povezana sa tačkama 1 i 3.

Ako želimo da skup bude otvoren, moramo uključiti sve susede svake njegove tačke.

Na taj način, pojam otvorenosti u digitalnoj topologiji predstavlja diskretnu verziju ideje kontinuiteta.

Razlika između digitalne i diskretne topologije

I digitalna i diskretna topologija bave se diskretnim skupovima, ali na potpuno različit način:

• Diskretna topologija
  Svaki podskup je otvoren, bez ikakvih dodatnih uslova.
• Digitalna topologija
  Podskup je otvoren samo ako poštuje pravila povezanosti između svojih tačaka.

U čemu je suština razlike?

U diskretnoj topologiji nema ograničenja: svaki skup je otvoren. U digitalnoj topologiji postoji jasno pravilo koje mora biti ispunjeno.

Drugim rečima, nije svaki podskup otvoren u digitalnoj topologiji.

Na primer, skup koji se sastoji od dva odvojena piksela - koji nisu povezani - nije otvoren u digitalnoj topologiji, iako bi bio otvoren u diskretnoj topologiji.

Digitalna topologija, dakle, uvodi strukturu i odnose između tačaka, dok diskretna topologija posmatra tačke kao potpuno nezavisne.

Primer

Razmotrimo skup \(\{1, 2, 3, 4\}\) raspoređen u krug.

• Skup \(\{1, 2\}\) je otvoren, jer su tačke međusobno povezane.
• Skup \(\{1, 3\}\) nije otvoren, jer između tačaka nema direktne veze.

Ako isti skup posmatramo u diskretnoj topologiji, oba podskupa bi bila otvorena.

Napomena. U istom diskretnom metričkom prostoru, digitalna topologija je restriktivnija jer zahteva postojanje povezanosti između tačaka.

I tako dalje.