Asocijativnost produkta topoloških prostora

Neka su \(X\), \(Y\) i \(Z\) topološki prostori. Sledeći produkti $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ su međusobno homeomorfni: $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Drugim rečima, način na koji grupišemo faktore u kartezijanskom produktu ne menja suštinu dobijenog prostora. Rezultat je uvek isti, do na homeomorfizam.

To znači da je kartezijanski produkt topoloških prostora asocijativan, u smislu da između ovih konstrukcija postoje prirodni homeomorfizmi.

Napomena : Ovo svojstvo je veoma praktično jer omogućava da se proizvodi više prostora posmatraju bez stalnog razmišljanja o redosledu ili načinu grupisanja faktora.

Konkretan primer

Da bismo ovu ideju učinili jasnijom, posmatrajmo dobro poznate prostore \(\mathbb{R}\) (sa standardnom topologijom) i \(\mathbb{R}^2\) (kartezijansku ravan sa produktnom topologijom).

Uzmimo tri kopije prostora \(\mathbb{R}\) :

• \(X = \mathbb{R}\)
• \(Y = \mathbb{R}\)
• \(Z = \mathbb{R}\)

Pogledajmo sada tri različita načina da formiramo njihov produkt :

1. Produkt \((X \times Y) \times Z\)
   Najpre formiramo \(X \times Y\), čime dobijamo ravan \(\mathbb{R}^2\). Zatim taj rezultat množimo sa \(Z\), pa dobijamo \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}\), čiji su elementi trojke oblika \(((x, y), z)\), gde je \(x, y, z \in \mathbb{R}\). Ovaj prostor je homeomorfan prostoru \(\mathbb{R}^3\).
2. Produkt \(X \times (Y \times Z)\)
   U ovom slučaju prvo formiramo \(Y \times Z = \mathbb{R}^2\), a zatim uzimamo produkt sa \(X\), odnosno \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2\). Elementi su trojke oblika \((x, (y, z))\). I ovde dobijamo prostor homeomorfan \(\mathbb{R}^3\).
3. Produkt \(X \times Y \times Z\)
   Konačno, možemo direktno posmatrati produkt sva tri prostora, što daje trojke \((x, y, z)\), gde je \(x, y, z \in \mathbb{R}\). I ovaj prostor je prirodno homeomorfan \(\mathbb{R}^3\).

U sva tri slučaja dobijamo isti tip topološkog prostora, odnosno prostor koji je homeomorfan \(\mathbb{R}^3\).

Zaključak je jasan. Redosled i grupisanje faktora ne utiču na konačnu topološku strukturu prostora. Upravo to i znači da je produkt topoloških prostora asocijativan, do na homeomorfizam.

Ovaj primer pokazuje na konkretan način da, bez obzira na to kako posmatramo produkt, uvek dolazimo do istog topološkog prostora u matematičkom smislu.