Granica skupa A kao podskup skupa A

Granica \( \partial A \) skupa \( A \) jest podskup skupa \( A \) ako i samo ako je \( A \) zatvoren skup: \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ je zatvoren} \]

Intuitivan primjer

Primjer 1

Razmotrimo zatvoreni disk \( A \) polumjera 1, sa središtem u ishodištu euklidske ravnine \(\mathbb{R}^2\).

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 $$

Granicu tog skupa čini kružnica polumjera 1:

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Budući da su sve točke granice uključene u sam disk, vrijedi:

$$ \partial A \subseteq A $$

To znači da je skup \( A \) zatvoren.

Primjer 2

Sada promatrajmo otvoreni disk \( B \) istog polumjera i istog središta:

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 $$

Njegova granica ostaje ista kružnica:

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Međutim, u ovom slučaju točke granice ne pripadaju skupu \( B \), pa vrijedi:

$$ \partial B \nsubseteq B $$

Odnosno, skup \( B \) nije zatvoren.

Ova dva jednostavna primjera jasno pokazuju razliku između zatvorenih i otvorenih skupova: zatvoreni skup uvijek sadrži svoju granicu, dok je otvoreni skup nikada ne sadrži.

Dokaz tvrdnje

Tvrdnja se dokazuje u dva koraka, kroz dvije obrnute implikacije.

1] Ako je \( \partial A \subseteq A \), tada je \( A \) zatvoren

Pretpostavimo da sve granične točke skupa \( A \) pripadaju samom skupu \( A \).

Podsjetimo da se granica definira kao presjek zatvaranja skupa i zatvaranja njegova komplementa: \( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \).

Ako su sve točke koje su istodobno granica skupa i njegova komplementa sadržane u \( A \), tada skup \( A \) sadrži sve svoje granične, odnosno akumulacijske točke.

Prema definiciji, upravo je to obilježje zatvorenog skupa.

2] Ako je \( A \) zatvoren, tada vrijedi \( \partial A \subseteq A \)

Pretpostavimo sada da je \( A \) zatvoren skup, što znači da vrijedi \( A = \text{Cl}(A) \).

Tada se granica skupa može zapisati kao:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

Drugim riječima, granicu čine upravo one točke skupa \( A \) koje su ujedno i granične točke njegova komplementa, pa one nužno pripadaju skupu \( A \).

Zaključak

Zaključujemo da vrijedi \( \partial A \subseteq A \) ako i samo ako je \( A \) zatvoren skup.

Ova karakterizacija često se koristi u topologiji jer jasno povezuje pojam granice s pojmom zatvorenog skupa.