Granica skupa je uvijek zatvoren skup

Granica skupa uvijek je zatvoren skup jer se definira kao presjek zatvaranja skupa $A$ i zatvaranja njegovog komplementa: $$ \partial A = Cl(A) ∩ Cl(X - A) $$

U okviru topologije, granica skupa $A$ u prostoru $X$, označena simbolom $\partial A$, obuhvaća točke koje su “na rubu” skupa. Formalno, ona se dobiva kao presjek zatvaranja skupa $A$ i zatvaranja njegovog komplementa: $\partial A = Cl(A) ∩ Cl(X - A)$.

Ova definicija odmah vodi do važnog zaključka. Budući da je presjek zatvorenih skupova uvijek zatvoren, granica $\partial A$ mora biti zatvoren skup.

Konkretan primjer
Dokaz

Konkretan primjer

Razmotrimo realnu pravu $\mathbb{R}$ s uobičajenom topologijom, gdje su otvoreni skupovi otvoreni intervali.

Neka je $A = (0, 1)$, otvoreni interval između 0 i 1.

Zatvaranje skupa $A$, označeno sa $Cl(A)$ ili $\overline{A}$, jest zatvoreni interval $[0, 1]$. Ono uključuje sve točke iz $A$ kao i granične točke 0 i 1.

Komplement skupa $A$ u $\mathbb{R}$ iznosi:

$$ \mathbb{R} - A = (-∞, 0] ∪ [1, ∞) $$

Kako je ovaj komplement već zatvoren, njegovo zatvaranje ostaje nepromijenjeno:

$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-∞, 0] ∪ [1, ∞) $$

Granica skupa $A$ dobiva se presjekom:

$$ \partial A = Cl(A) ∩ Cl(\mathbb{R} - A) $$

$$ \partial A = [0, 1] ∩ ((-∞, 0] ∪ [1, ∞)) = \{0, 1\} $$

Dakle, granicu skupa $A$ čine točke $\{0, 1\}$. Taj skup je zatvoren u $\mathbb{R}$, što potvrđuje opće pravilo.

Dokaz

Rezultat proizlazi iz osnovnih svojstava topoloških prostora.

Zatvaranje skupa $A$, zapisano kao $Cl(A)$ ili $\overline{A}$, po definiciji je zatvoren skup. To je najmanji zatvoren skup koji sadrži $A$.

Komplement $X - A$ mijenja ulogu otvorenog i zatvorenog. Ako je $A$ zatvoren, tada je $X - A$ otvoren, i obrnuto.

Granica skupa definirana je formulom:

$$ \partial A = Cl(A) ∩ Cl(X - A) $$

Jedno od temeljnih svojstava topologije kaže da je konačan presjek zatvorenih skupova zatvoren.

$Cl(A)$ je zatvoren po definiciji.
$Cl(X - A)$ je zatvoren jer je također zatvaranje.
Njihov presjek mora biti zatvoren.

Prema tome, granica svakog skupa $A$ nužno je zatvoren skup:

$$ \partial A = Cl(A) ∩ Cl(X - A) $$

Time je tvrdnja dokazana. Isti argument vrijedi u bilo kojem topološkom prostoru.