Konačni presjek otvorenih skupova u kvocijentnom prostoru
U kvocijentnoj topologiji vrijedi sljedeće važno svojstvo: praslika konačnog presjeka otvorenih skupova \( U_i \) jednaka je presjeku njihovih praslika, koje su otvorene u početnoj topologiji na \( X \) : $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Iz toga neposredno slijedi da konačni presjek otvorenih skupova ostaje otvoren i u kvocijentnoj topologiji.
Konkretan primjer
Razmotrimo klasičan primjer kvocijentnog prostora \( A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), koji se može intuitivno razumjeti kao kružnica.
Polazimo od realne prave \( \mathbb{R} \) sa standardnom topologijom. Kvocijentno preslikavanje \( p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) svakom realnom broju pridružuje njegov razlomljeni dio.
Na taj način svi brojevi koji se razlikuju za cijeli broj identificiraju se u istu točku. Zato se kvocijentni prostor može prikazati kao poluotvoreni interval [0,1), gdje su krajnje točke 0 i 1 zapravo ista točka.
Na primjer, brojevi 0{,}3, 1{,}3 i 2{,}3 odgovaraju istoj točki 0{,}3 na kružnici.
Uzmimo sada dva otvorena skupa u kvocijentnom prostoru \( A \) :
$$ U_1 = (0{,}1, 0{,}5) $$
$$ U_2 = (0{,}3, 0{,}7) $$
Ovi intervali su otvoreni skupovi u \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), odnosno u pripadnoj kvocijentnoj topologiji.
Njihov presjek je:
$$ U_1 \cap U_2 = (0{,}3, 0{,}5) $$
Dobiveni interval je i dalje otvoren i nalazi se unutar kružnice, pa predstavlja otvoreni skup u kvocijentnom prostoru.
Pogledajmo sada što se događa kada te skupove vratimo natrag u prostor \( \mathbb{R} \), odnosno kada promatramo njihove praslike.
Svaki od tih skupova postaje beskonačna unija otvorenih intervala koji se periodično ponavljaju duž realne osi:
$$ p^{-1}(U_1) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}1,\ n + 0{,}5) $$
$$ p^{-1}(U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}7) $$
Ako sada uzmemo njihov presjek, dobivamo:
$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}5) $$
Drugim riječima, ponovno dobivamo uniju otvorenih intervala, koji su međusobno disjunktni i zajedno čine otvoreni skup u standardnoj topologiji na \( \mathbb{R} \).
Ovdje je ključna ideja sljedeća: budući da je praslika presjeka otvorena u početnom prostoru, sam presjek mora biti otvoren i u kvocijentnom prostoru.
Na taj način potvrđujemo jedno od osnovnih svojstava topologije: konačni presjek otvorenih skupova ostaje otvoren. Isto vrijedi i u kvocijentnim prostorima.
Ovaj rezultat se bez poteškoća generalizira na bilo koji konačan broj otvorenih skupova.
