Kontinuirana funkcija ne mora biti otvoreno preslikavanje

Kontinuirana funkcija \( f : X \to Y \) ne mora nužno preslikavati otvorene skupove iz \( X \) u otvorene skupove u \( Y \).

Ovo je jedna od čestih zabuna u topologiji. Intuitivno bismo mogli očekivati da "lijepo ponašanje" funkcije, odnosno kontinuitet, automatski znači da će ona očuvati i otvorenost skupova. Međutim, to nije slučaj.

Kontinuitet sam po sebi ne garantira očuvanje otvorenih skupova. Upravo zato vrijedi naglasiti: kontinuirana funkcija ne mora biti otvoreno preslikavanje.

Što je otvoreno preslikavanje? Otvoreno preslikavanje \( f : X \to Y \) je funkcija koja svaki otvoreni skup iz \( X \) preslikava u otvoreni skup u \( Y \).

Drugim riječima, kontinuitet i otvorenost opisuju dva različita aspekta ponašanja funkcije. Kontinuiranost ne znači automatski da će slika otvorenog skupa iz domene ostati otvorena u kodomeni.

Konkretan primjer

Razmotrimo funkciju \( f(x) = x^2 \), koja je kontinuirana na \( \mathbb{R} \).

Uzmimo otvoreni skup \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \), koji sadrži sve realne brojeve strogo između \( -2 \) i \( 2 \).

Primijenimo funkciju \( f(x) = x^2 \) na taj skup i pogledajmo što se događa na karakterističnim točkama:

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

Slika skupa \( (-2, 2) \) je interval \( [0, 4) \).

Ovdje dolazi ključni detalj: interval \( [0, 4) \) nije otvoren u \( \mathbb{R} \).

Zašto? Zato što točka \( 0 \) pripada tom skupu, ali ne postoji nijedno otvoreno okruženje oko \( 0 \) koje bi u potpunosti ostalo unutar intervala \( [0, 4) \). Svako takvo okruženje bi "izašlo" iz intervala na negativnu stranu.

Ovaj primjer jasno pokazuje da i vrlo "regularna" funkcija poput \( f(x) = x^2 \), iako kontinuirana, ne mora preslikavati otvorene skupove u otvorene skupove.

Zaključak je jasan: čak i ako je funkcija kontinuirana na cijelom \( \mathbb{R} \), to ne znači da je otvoreno preslikavanje.

Razlika između kontinuiranih funkcija i otvorenih preslikavanja

Da bismo izbjegli zabunu, važno je jasno razlikovati ove dvije osobine.

• Kontinuirana funkcija (u smislu otvorenih skupova)
  Funkcija \( f : X \to Y \) je kontinuirana ako je praslika svakog otvorenog skupa iz \( Y \) otvoren skup u \( X \). Drugim riječima, za svaki otvoreni skup \( U \subset Y \), skup \( f^{-1}(U) \) mora biti otvoren u \( X \).

  Kontinuitet se odnosi na "povratak" skupova: ako krenemo od otvorenog skupa u kodomeni \( Y \) i vratimo se putem funkcije \( f \), uvijek dobivamo otvoren skup u domeni \( X \). Ne govori ništa o tome kakve su direktne slike skupova.

• Otvoreno preslikavanje
  Funkcija \( f : X \to Y \) naziva se otvorenim preslikavanjem ako svaki otvoreni skup iz \( X \) preslikava u otvoreni skup u \( Y \). Drugim riječima, za svaki otvoreni skup \( V \subset X \), slika \( f(V) \) mora biti otvoren skup u \( Y \).

  Otvorenost se odnosi na direktno preslikavanje: uzimamo otvoreni skup u domeni i gledamo njegovu sliku u kodomeni. Da bi funkcija bila otvorena, ta slika mora ostati otvorena.

Ukratko: kontinuitet i otvorenost gledaju funkciju iz suprotnih smjerova. Kontinuitet govori o praslikama otvorenih skupova, dok otvorenost govori o njihovim slikama.

To su dvije različite topološke osobine i ne treba ih miješati.

I tako dalje.