Prazna granica clopen skupova
Granica \(\partial A\) skupa \(A\) je prazna ako i samo ako je \(A\) istovremeno otvoren i zatvoren (clopen) : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ je clopen} $$
Intuitivno, to znači da skup \(A\) nema graničnih točaka. Drugim riječima, ne postoji nijedna točka koja bi istovremeno pripadala zatvorenju skupa \(A\) i zatvorenju njegova komplementa. Takvi skupovi zauzimaju posebno mjesto u topologiji jer povezuju pojmove otvorenosti i zatvorenosti.
Primjeri
Primjer 1
Razmotrimo prazni skup \( A = \emptyset \) u topološkom prostoru \(\mathbb{R}\) s uobičajenom topologijom.
Najprije izračunajmo njegova zatvorenja:
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
Komplement praznog skupa je cijeli prostor, odnosno \(A^c = \mathbb{R}\). Budući da je \(\mathbb{R}\) zatvoren skup, njegovo zatvorenje je:
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
Granica se zato dobiva kao:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
Granica je prazna, pa je \(A\) clopen. To je u skladu s definicijama, jer je prazni skup uvijek otvoren, ali i zatvoren, budući da nema točaka zatvorenja.
Primjer 2
Razmotrimo sada suprotni slučaj, skup \( A = \mathbb{R} \), opet s uobičajenom topologijom.
Njegovo zatvorenje jednako je cijelom prostoru:
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
Komplement ovog skupa je \(A^c = \emptyset\), čije je zatvorenje također prazno:
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Granica je stoga:
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
I u ovom slučaju dobivamo clopen skup. Skup \(\mathbb{R}\) je otvoren, a ujedno i zatvoren, jer sadrži sve svoje granične točke.
Primjer 3
Promotrimo sada skup \(A = [0,1)\) u prostoru \(\mathbb{R}\) s uobičajenom topologijom.
Zatvorenje ovog skupa je \([0,1]\), dok je njegov komplement:
$$ A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty) $$
Zatvorenje komplementa iznosi:
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Granica skupa \(A\) tada je:
$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
U ovom slučaju granica nije prazna. Skup \(A\) zato nije clopen. Riječ je o poluotvorenom skupu, koji u \(\mathbb{R}\) s uobičajenom topologijom nije ni otvoren ni zatvoren.
Ovi primjeri jasno pokazuju da je prazna granica karakteristično obilježje upravo onih skupova koji su istovremeno otvoreni i zatvoreni.
Dokaz
Po definiciji, granica skupa \(A\) dana je izrazom:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Pokazat ćemo da vrijedi sljedeća ekvivalencija:
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ je clopen} $$
1] Ako je granica prazna, tada je \(A\) otvoren i zatvoren
Pretpostavimo da je:
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
To znači da su zatvorenja skupa \(A\) i njegova komplementa disjunktna.
Zatvorenost skupa
Iz pretpostavke slijedi:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq \left( \text{Cl}(A^c) \right)^c \subseteq (A^c)^c = A $$
Budući da uvijek vrijedi \(A \subseteq \text{Cl}(A)\), zaključujemo:
$$ \text{Cl}(A) = A $$
Time je \(A\) zatvoren skup.
Otvorenost skupa
Analogno vrijedi:
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
Prema tome je \(A^c\) zatvoren, što neposredno znači da je \(A\) otvoren.
Zaključujemo da prazna granica povlači da je skup \(A\) istovremeno otvoren i zatvoren, odnosno clopen.
2] Ako je \(A\) clopen, tada je njegova granica prazna
Pretpostavimo sada da je \(A\) clopen skup. Tada vrijedi:
$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$
Uvrštavanjem u definiciju granice dobivamo:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = A \cap A^c $$
No presjek skupa s njegovim komplementom uvijek je prazan, pa slijedi:
$$ \partial A = \emptyset $$
3] Zaključak
Pokazali smo da je skup \(A\) bez graničnih točaka ako i samo ako je istovremeno otvoren i zatvoren. Drugim riječima:
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ je clopen} $$
Što je i trebalo dokazati.
