Presjek granice i skupa u topologiji
Presjek granice \( \partial A \) nekog skupa sa samim skupom \( A \) prazan je ako i samo ako je \( A \) otvoren skup: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ je otvoren} $$
Intuitivno, to znači sljedeće: skup je otvoren upravo onda kada nijedna njegova točka ne leži na njegovoj granici.
Drugim riječima, otvoren skup i njegova granica nemaju nijednu zajedničku točku.
Konkretan primjer
Promotrimo otvoreni interval \((0,1)\) u najpoznatijem topološkom prostoru: realnoj pravoj \(\mathbb{R}\) s uobičajenom topologijom.
$$ A = (0,1) $$
Ovaj skup je otvoren.
Granica skupa definira se kao presjek zatvaranja samog skupa i zatvaranja njegova komplementa \( \mathbb{R} \setminus A \):
$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$
Zatvaranje skupa \( A \) dobiva se dodavanjem njegovih graničnih točaka:
$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$
S druge strane, zatvaranje komplementa izgleda ovako:
$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
Presjek ta dva zatvaranja daje granicu skupa:
$$ \partial A = [0,1] \cap \left((-\infty,0] \cup [1,\infty)\right) $$
$$ \partial A = \{0,1\} $$
Pogledajmo sada presjek granice sa samim skupom:
$$ \partial A \cap A = \{0,1\} \cap (0,1) = \emptyset $$
Rezultat je prazan skup. Time se jasno vidi da otvoreni interval \((0,1)\) ne sadrži nijednu od svojih graničnih točaka, što je upravo obilježje otvorenih skupova.
Primjer 2
Razmotrimo sada zatvoreni interval \( B = [0,1] \), opet u uobičajenoj topologiji na \(\mathbb{R}\).
$$ B = [0,1] $$
Ovaj skup je zatvoren.
Njegova granica definira se na isti način kao i prije:
$$ \partial B = \operatorname{Cl}(B) \cap \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus B) $$
Za zatvaranja vrijedi:
$$ \operatorname{Cl}(B) = [0,1] $$
$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus B) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
Otuda slijedi:
$$ \partial B = \{0,1\} $$
Sada presjek granice i skupa više nije prazan:
$$ \partial B \cap B = \{0,1\} \cap [0,1] = \{0,1\} $$
Ovaj primjer pokazuje da zatvoreni interval sadrži svoje granične točke, pa zbog toga ne može biti otvoren skup.
Dokaz
Tvrdnju sada dokazujemo u oba smjera.
(⇒) Ako je \( \partial A \cap A = \emptyset \), tada je \( A \) otvoren
Pretpostavimo da skup \( A \) nema zajedničkih točaka sa svojom granicom.
To znači da se svaka točka \( x \in A \) nalazi u unutrašnjosti skupa, odnosno ima okolinu koja je u cijelosti sadržana u \( A \).
Prema definiciji, upravo to karakterizira otvorene skupove.
Stoga je \( A \) otvoren.
(⇐) Ako je \( A \) otvoren, tada je \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Pretpostavimo sada da je \( A \) otvoren skup.
Svaka njegova točka ima okolinu koja ne sadrži točke komplementa. Zbog toga nijedna točka skupa \( A \) ne može ležati na granici između skupa i njegova komplementa.
Drugim riječima, nijedna točka skupa \( A \) ne pripada njegovoj granici.
Odavde slijedi:
$$ \partial A \cap A = \emptyset $$
Zaključak
Zaključujemo da je skup otvoren ako i samo ako ne sadrži nijednu od svojih graničnih točaka: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ je otvoren} $$
Ovaj kriterij daje jednostavan i vrlo koristan način za prepoznavanje otvorenih skupova u topologiji.
