Presjek granice i unutrašnjosti skupa

Presjek granice \( \partial A \) i unutrašnjosti \( \text{Int}(A) \) nekog skupa uvijek je prazan skup: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

U topologiji granica i unutrašnjost imaju jasno razdvojene uloge. Tačka ne može istovremeno biti „duboko unutar" skupa i nalaziti se na njegovoj granici. Ova činjenica izgleda intuitivno, ali se može precizno dokazati pomoću osnovnih definicija.

Konkretan primjer u \(\mathbb{R}\)

Posmatrajmo realnu pravu \(\mathbb{R}\) sa uobičajenom topologijom, gdje su otvoreni skupovi otvoreni intervali.

Neka je:

$$ A = (0, 1) $$

Dakle, \(A\) je otvoreni interval između 0 i 1.

Unutrašnjost

Unutrašnjost skupa čine sve tačke koje imaju neku okolinu u potpunosti sadržanu u skupu. Kod otvorenog intervala svaka tačka ima mali interval oko sebe koji i dalje ostaje unutar \(A\). Zato važi:

$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$

Zatvorenje

Zatvorenje skupa \(A\), označeno sa \( \text{Cl}(A) \), dobija se tako što se skupu dodaju njegove granične tačke. U ovom slučaju to su 0 i 1:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Komplement

Komplement skupa \(A\) u \(\mathbb{R}\) je:

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Ovaj skup je već zatvoren, pa vrijedi:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Granica

Granica skupa definiše se kao presjek zatvorenja skupa i zatvorenja njegovog komplementa:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$

U našem primjeru:

$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) $$

Zajedničke tačke su samo krajevi intervala, pa dobijamo:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Presjek granice i unutrašnjosti

Sada možemo direktno izračunati:

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

Nijedna tačka ne pripada istovremeno granici i unutrašnjosti. Tačke 0 i 1 su granične, ali nisu unutrašnje. Tačke između 0 i 1 su unutrašnje, ali nisu granične.

Zašto je to uvijek tačno?

Po definiciji:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

Tačka je u granici ako svaka njena okolina siječe i skup i njegov komplement. To znači da oko te tačke nikada ne možemo pronaći okolinu koja je potpuno unutar skupa.

S druge strane, tačka je u unutrašnjosti ako postoji barem jedna okolina koja je u potpunosti sadržana u skupu.

Ove dvije situacije se međusobno isključuju. Ako je tačka na granici, ne može biti unutrašnja. Ako je unutrašnja, ne može biti granična.

Zato u svakom topološkom prostoru vrijedi:

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Granica i unutrašnjost su uvijek disjunktni skupovi.