Teorem o unutrašnjosti kartezijskog produkta skupova

Neka su \(A\) i \(B\) podskupovi topoloških prostora \(X\) i \(Y\). Unutrašnjost njihovog kartezijskog produkta \(A \times B\) jednaka je kartezijskom produktu njihovih unutrašnjosti: $$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

Drugim riječima, ako znamo unutrašnjost svakog skupa posebno, unutrašnjost njihovog produkta dobijamo jednostavno tako što uzmemo njihov kartezijski produkt.

Ova osobina je posebno jasna kada su \(A\) i \(B\) otvoreni skupovi, jer se tada struktura produkta direktno prenosi na višu dimenziju.

Konkretan primjer

Posmatrajmo topološke prostore \(X = \mathbb{R}\) i \(Y = \mathbb{R}\), te podskupove \(A = (0, 2)\) i \(B = (1, 3)\).

Skupovi \(A\) i \(B\) su otvoreni intervali realne prave, pa je njihova unutrašnjost jednaka samim skupovima:

$$ \text{Int}(A) = (0, 2) $$

$$ \text{Int}(B) = (1, 3) $$

Formirajmo sada njihov kartezijski produkt:

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = (0, 2) \times (1, 3) $$

Ovaj skup se sastoji od svih parova \((x, y)\) takvih da je \(x\) između 0 i 2, a \(y\) između 1 i 3:

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) = \{(x, y) \mid x \in (0, 2),\ y \in (1, 3)\} $$

Geometrijski, to je otvoreni pravougaonik u ravni \(\mathbb{R}^2\), omeđen tačkama \((0, 1)\), \((0, 3)\), \((2, 1)\) i \((2, 3)\).

Ako sada direktno posmatramo skup \(A \times B\), dobijamo isti taj pravougaonik. Njegova unutrašnjost je, prema tome, upravo taj skup.

Zaključak je:

$$ \text{Int}(A \times B) = (0, 2) \times (1, 3) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

Primjer jasno pokazuje kako teorem funkcioniše u praksi.

Dokaz

Dokaz se zasniva na standardnoj metodi dvostruke inkluzije. Pokazaćemo da je svaki od ova dva skupa sadržan u drugom.

1] \(\text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B)\)

Uzmimo proizvoljan par \((x, y)\) takav da je \(x \in \text{Int}(A)\) i \(y \in \text{Int}(B)\).

Po definiciji unutrašnjosti, postoje otvoreni skupovi \(U \subseteq X\) i \(V \subseteq Y\) takvi da:

\(x \in U \subseteq A\) i \(y \in V \subseteq B\).

Njihov produkt \(U \times V\) je otvoren skup u prostoru \(X \times Y\), sadrži tačku \((x, y)\) i važi:

\(U \times V \subseteq A \times B\).

Dakle, \((x, y)\) je unutrašnja tačka skupa \(A \times B\), što pokazuje traženu inkluziju.

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$

2] \(\text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B)\)

Neka je sada \((x, y) \in \text{Int}(A \times B)\).

Tada postoji otvoren skup \(W \subseteq X \times Y\) takav da:

\((x, y) \in W \subseteq A \times B\).

Po svojstvu produktne topologije, postoji otvoreni skup oblika \(U \times V\) takav da:

\((x, y) \in U \times V \subseteq W\).

Iz uključenja \(U \times V \subseteq A \times B\) slijedi:

\(U \subseteq A\) i \(V \subseteq B\).

Zato je \(x \in \text{Int}(A)\) i \(y \in \text{Int}(B)\), pa važi:

$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

3] Zaključak

Pošto vrijede obje inkluzije:

$$ \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \times B) $$

$$ \text{Int}(A \times B) \subseteq \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

zaključujemo da su ovi skupovi jednaki:

$$ \text{Int}(A \times B) = \text{Int}(A) \times \text{Int}(B) $$

Time je dokaz završen.