Unija otvorenih skupova u kvocijentnoj topologiji je otvorena

Neka je zadana familija otvorenih skupova $ U_i $ u kvocijentnoj topologiji $ Q $. Važno svojstvo kaže da se praslika njihove unije podudara s unijom odgovarajućih praslika, pri čemu je svaka od njih otvorena u polaznoj topologiji na prostoru $ X $ : $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Iz toga neposredno slijedi da je i sama unija otvorenih skupova u $ Q $ otvoren skup.

Ilustrativni primjer

Razmotrimo skup realnih brojeva $ \mathbb{R} $ sa standardnom topologijom i definirajmo kvocijentni prostor pomoću preslikavanja $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, koje svakom realnom broju pridružuje njegovu klasu ekvivalencije modulo 1.

Intuitivno, preslikavanje $ p $ "zaboravlja" cijeli dio broja i zadržava samo njegov razlomljeni dio.

Na primjer, brojevi 0{,}3, 1{,}3, 2{,}3 itd. svi se preslikavaju u istu točku 0{,}3 u kvocijentnom prostoru.

grafički prikaz kvocijentnog prostora R modulo Z

Zbog ove identifikacije, kvocijentni prostor $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ možemo zamisliti kao kružnicu. Svaka točka kružnice odgovara jednom broju iz intervala [0,1), odnosno od 0 uključivo do 1 isključivo.

Uzmimo sada dva otvorena skupa u tom prostoru:

$ U_1 = (0{,}1, 0{,}4) $
$ U_2 = (0{,}6, 0{,}8) $

Geometrijski, ovi skupovi predstavljaju otvorene lukove na kružnici.

Pogledajmo što se događa kada ih spojimo.

Praslika skupa $ U_1 $ je beskonačna unija intervala u $ \mathbb{R} $ :
\[ p^{-1}(U_1) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (2{,}1, 2{,}4) \cup \dots \]
Na isti način dobivamo :
\[ p^{-1}(U_2) = (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup (2{,}6, 2{,}8) \cup \dots \]

Njihova unija u kvocijentnom prostoru je:

$$ U_1 \cup U_2 = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) $$

A sada ključni korak. Praslika ove unije zadovoljava:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

što znači:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup \dots $$

Ova praslika je unija otvorenih intervala u $ \mathbb{R} $, pa je otvoren skup u standardnoj topologiji.

Zaključak je sada jasan. Budući da je praslika otvorena, i sama unija $ U_1 \cup U_2 $ mora biti otvorena u kvocijentnoj topologiji.

Isti argument vrijedi općenito, za bilo koju uniju, konačnu ili beskonačnu, otvorenih skupova u kvocijentnom prostoru.