Unija unutrašnjosti i granice skupa

U topologiji postoji jednostavna, ali veoma važna veza između tri osnovna pojma: unutrašnjosti, granice i zatvorenja skupa. Konkretno, unija unutrašnjosti \( \text{Int}(A) \) nekog skupa i njegove granice \( \partial A \) daje upravo njegovo zatvorenje:

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Drugim riječima, svaka tačka zatvorenja skupa je ili unutrašnja tačka ili tačka granice.

Primjer

Razmotrimo skup \( A = (0, 1) \) u topološkom prostoru \(\mathbb{R}\) s uobičajenom topologijom.

Unutrašnjost skupa \(A\) je otvoreni interval:

$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$

Zatvorenje skupa \(A\) je zatvoreni interval koji uključuje i granične tačke:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Granica skupa \(A\) sastoji se upravo od krajnjih tačaka intervala:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Ako sada uzmemo uniju granice i unutrašnjosti skupa \(A\), dobijamo:

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) $$

što je jednako zatvorenom intervalu:

$$ [0, 1] $$

Prema tome:

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Ovaj primjer jasno pokazuje da zatvorenje skupa obuhvata sve njegove unutrašnje tačke i sve tačke granice, dok se ta dva skupa ne preklapaju.

Dokaz

Da bismo precizno dokazali ovu jednakost, podsjetimo se osnovnih definicija iz topologije.

1. Unutrašnjost skupa \(A\) (\( \text{Int}(A) \))
   Unutrašnjost je skup svih tačaka iz \(A\) za koje postoji okolina koja je u potpunosti sadržana u \(A\).
2. Zatvorenje skupa \(A\) (\( \text{Cl}(A) \))
   Zatvorenje je najmanji zatvoren skup koji sadrži \(A\). Ono uključuje sve tačke skupa \(A\) zajedno sa svim njegovim tačkama prianjanja. Vrijedi:
   \[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \]
3. Granica skupa \(A\) (\( \partial A \))
   Granica je skup tačaka koje istovremeno pripadaju zatvorenju skupa \(A\) i zatvorenju njegovog komplementa:
   \[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]

Neka je \(A \subseteq X\) proizvoljan podskup nekog topološkog prostora.

Po definiciji, zatvorenje skupa \(A\) može se razložiti na unutrašnjost i granicu:

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Pritom su unutrašnjost i granica uvijek disjunktni skupovi:

$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$

Zbog toga njihova unija tačno pokriva zatvorenje skupa.

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Q.E.D.