Partículas con espín 1/2

En las partículas con espín \( \tfrac{1}{2} \), el espín no es una etiqueta rígida ni un rasgo fijo. Es una propiedad que depende del eje en el que se mida, porque en mecánica cuántica un estado no es único sino una combinación de dos estados base. Esa combinación se expresa mediante el espinor \( (\alpha,\ \beta) \). $$ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Aquí \( \alpha \) y \( \beta \) son las amplitudes complejas que representan los estados de "espín arriba" y "espín abajo" a lo largo del eje \( z \).

En otras palabras, "espín arriba" respecto a \( z \) no es el mismo estado físico que "espín arriba" respecto a \( x \) o \( y \). Cambia el eje, cambia la descripción del estado.

Las probabilidades asociadas a cada resultado dependen del valor de estas amplitudes y siempre se interpretan respecto al eje en el que se expresa el estado.

Por eso, cuando modificamos el eje de medida, debemos reescribir el estado en una base diferente. Esto genera nuevas amplitudes y, por tanto, nuevas probabilidades.

De ahí que una partícula preparada como "espín arriba" respecto a \( z \) pueda dar exactamente la misma probabilidad de "arriba" y "abajo" si la medimos respecto a \( x \).

Cómo funciona realmente un espín 1/2

Partículas como el electrón, el protón o el neutrón son ejemplos clásicos de sistemas con espín \( \tfrac{1}{2} \). En todos los casos, su número cuántico magnético \( m_s \) solo puede tomar dos valores:

• \( m_s = \tfrac{1}{2} \) (espín arriba)
• \( m_s = -\tfrac{1}{2} \) (espín abajo)

Aun así, un espín \( \tfrac{1}{2} \) puede apuntar en cualquier dirección del espacio. El truco está en que el estado general siempre puede escribirse como una superposición de los dos autovectores de \( S_z \).

$$ \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Este vector de dos componentes es lo que llamamos un espinor, la representación estándar de los estados de espín 1/2.

Nota. Los espinores básicos corresponden a los autovectores del operador \( S_z \). $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \left| \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} \right\rangle $$ $$ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \left| \tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2} \right\rangle $$ Y al aplicar el operador $$ S_z = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ obtenemos los valores propios correspondientes: $$ S_z \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = +\tfrac{1}{2}\hbar $$ $$ S_z \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\hbar $$ El espinor describe el estado, mientras que \( S_z \) nos devuelve los valores cuantizados del momento angular a lo largo del eje \( z \).

Los coeficientes \( \alpha \) y \( \beta \) no son meras etiquetas: indican cuánto pesa cada uno de los estados base en la superposición.

Su interpretación probabilística es directa:

• \( |\alpha|^2 \) es la probabilidad de obtener espín arriba respecto a \( z \)
• \( |\beta|^2 \) es la probabilidad de obtener espín abajo respecto a \( z \)

La normalización exige:

$$ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $$

¿Qué pasa si medimos respecto al eje x?

Aquí aparece una idea clave en mecánica cuántica: los autovectores de \( S_x \) son distintos de los de \( S_z \). Para predecir el resultado de una medición de \( S_x \), debemos expresar el estado en esa nueva base.

El cambio de base produce dos nuevas amplitudes:

$$ a = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{2}} $$

$$ b = \frac{\alpha - \beta}{\sqrt{2}} $$

Estas son las amplitudes en la base de \( S_x \), y se interpretan igual que antes:

• \( |a|^2 \) es la probabilidad de espín arriba respecto a \( x \)
• \( |b|^2 \) es la probabilidad de espín abajo respecto a \( x \)

Para ver cómo funciona, tomemos una partícula preparada en espín arriba respecto a \( z \):

$$ (\alpha,\ \beta) = (1,0) $$

Aplicamos el cambio de base:

$$ a = \frac{1+0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$$ b = \frac{1-0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$

Las probabilidades finales son:

$$ |a|^2 = \tfrac{1}{2} $$

$$ |b|^2 = \tfrac{1}{2} $$

En otras palabras, medir a lo largo de \( x \) da:

• 50 por ciento espín arriba respecto a \( x \)
• 50 por ciento espín abajo respecto a \( x \)

Esto es exactamente lo que confirman los experimentos de Stern-Gerlach, uno de los pilares de la física cuántica moderna.

Así que la idea central es simple: tener espín arriba en un eje no significa tenerlo en otro distinto. Cambia el eje, cambia la base, cambian las probabilidades.

Para cerrar el panorama, recordemos que los operadores de espín \( S_x \), \( S_y \) y \( S_z \) tienen autovectores diferentes y gobiernan cómo rota y se transforma el espín en el espacio cuántico.

$$
\hat S_x = \frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} $$

$$ \hat S_y = \frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix} $$

$$ \hat S_z = \frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix} $$

Nota. En los sistemas de espín \( \tfrac{1}{2} \) ocurre algo sorprendente a primera vista: una rotación completa de \( 360^\circ \) no devuelve el estado cuántico original, sino su opuesto. Matemáticamente, se expresa como \[ U(2\pi)\,|\psi\rangle = -|\psi\rangle \] La orientación física del espín no cambia, pero el espinor que representa el estado adquiere un signo global negativo. Para recuperar exactamente el mismo estado cuántico es necesaria una rotación de \( 720^\circ \), es decir, dos vueltas completas. Esto no es un detalle menor, sino una propiedad fundamental que obliga a describir estas partículas con el grupo SU(2) en lugar de SO(3). Las transformaciones se generan mediante las matrices de Pauli, las únicas matrices 2×2 que cumplen todos los requisitos algebraicos para describir rotaciones en un sistema de espín 1/2:

$$ \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Veamos un ejemplo sencillo. Tomemos el espinor:

\[ \psi = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{pmatrix} \]

Aplicar la matriz \( -I \), que representa una rotación de \( 360^\circ \), produce:

\[ (-I)\psi = \begin{pmatrix} -0.6 \\ -0.8 \end{pmatrix}. \]

El estado físico es el mismo, porque las probabilidades medibles dependen de los módulos:

$$ |0.6|^2 = 0.36 \qquad |-0.6|^2 = 0.36 $$ $$ |0.8|^2 = 0.64 \qquad |-0.8|^2 = 0.64 $$

El signo global no cambia nada observable, pero sí revela la estructura profunda del espín en mecánica cuántica.

Esta misma lógica explica por qué el estado \( \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} \), que describe "espín arriba" respecto al eje \( z \), no es un autovector de los operadores \( \hat S_x \) ni \( \hat S_y \). Para medir el espín en el eje \( x \), hay que expresar el estado como combinación de los autovectores propios de \( \hat S_x \). Cada eje del espacio tiene su propio par de estados "arriba" y "abajo", y no coinciden con los de ningún otro eje.

Por eso dos mediciones del espín a lo largo de ejes distintos pueden dar resultados diferentes incluso partiendo del mismo espinor. El cambio de eje implica un cambio real de base en el espacio de estados.

Autovectores de \( S_x \) y cambio de base en espín 1/2

Cualquier espinor \( (\alpha,\beta) \) puede reescribirse utilizando los autovectores de \( S_x \). Esta es la clave para calcular las probabilidades cuando la medición se realiza a lo largo del eje \( x \):

$$ \begin{pmatrix}\alpha \\ \beta\end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} \tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} $$

Los autovectores asociados a \( S_x \) son:

• $ \chi_+ = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} $
• $ \chi_- = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ -\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} $

Y los coeficientes de la expansión aparecen de forma muy natural:

• $ a = \dfrac{\alpha + \beta}{\sqrt{2}} $
• $ b = \dfrac{\alpha - \beta}{\sqrt{2}} $

Estos resultados permiten analizar de forma sistemática cualquier cambio de base y entender cómo varían las probabilidades de medida según el eje elegido.