Longitud de onda de Compton
La longitud de onda de Compton \( \lambda_c \) mide cuánto se desplaza la longitud de onda de un fotón \( \Delta \lambda \) al dispersarse elásticamente contra una partícula masiva, como un electrón. $$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$ Aquí \( \theta \) es el ángulo de dispersión, y la longitud de onda de Compton se define como $$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$ donde \( h \) es la constante de Planck, \( m \) la masa de la partícula (por ejemplo, un electrón) y \( c \) la velocidad de la luz.
En pocas palabras, la longitud de onda de Compton indica en qué medida aumenta la longitud de onda de un fotón cuando choca con una partícula masiva en una interacción perfectamente elástica.
Es un concepto clave de la mecánica cuántica relativista.
Dispersión de Compton
El efecto fue descubierto por Arthur H. Compton en 1923. Al estudiar cómo los rayos X incidían sobre un material, observó que la radiación dispersada presentaba una longitud de onda mayor (y, por tanto, menor energía) que la radiación incidente. A este fenómeno se le dio su nombre: dispersión de Compton.
Este comportamiento no podía justificarse desde la teoría clásica de ondas.
En cambio, al considerar a los fotones como partículas que transportan momento, el resultado se entiende de manera inmediata.
Durante la colisión, el fotón cede parte de su energía y de su momento al electrón, de forma muy parecida a lo que ocurre en un choque elástico clásico entre dos cuerpos.
Nota. La dispersión de Compton fue una de las primeras pruebas experimentales sólidas de la naturaleza corpuscular de la luz.
Ecuación de la dispersión de Compton
El cambio de longitud de onda del fotón debido a la dispersión se describe con la fórmula de Compton:
$$ \Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$
Donde:
- \( \lambda \) es la longitud de onda inicial del fotón
- \( \lambda' \) es la longitud de onda después de la dispersión
- \( \theta \) es el ángulo de dispersión (el ángulo de desviación del fotón)
- \( \lambda_c \) es la longitud de onda de Compton de la partícula objetivo (por ejemplo, el electrón)
La longitud de onda de Compton se expresa como:
$$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$
donde \( h \) es la constante de Planck, \( m \) la masa de la partícula y \( c \) la velocidad de la luz.
Ejemplo. Para un electrón, la longitud de onda de Compton es: $$ \lambda_c \approx 2.426 \times 10^{-12} \text{ m} = 2.426 \, \text{pm} $$
La longitud de onda de Compton constituye una escala fundamental de longitud para las partículas masivas. Marca el límite a partir del cual los efectos cuánticos y relativistas dejan de ser despreciables.
Si se intenta localizar una partícula en una región más pequeña que su longitud de onda de Compton, las fluctuaciones cuánticas se vuelven lo bastante intensas como para permitir la creación espontánea de pares partícula-antipartícula.
Nota. La longitud de onda de Compton está estrechamente vinculada a la dualidad onda-partícula: asigna a una partícula masiva una longitud de onda característica, pero no es lo mismo que la longitud de onda de de Broglie (que depende del momento). En concreto, la longitud de onda de Compton depende de la masa: $$ \lambda_c = \frac{h}{mc} $$ mientras que la de Broglie depende del momento: $$ \lambda = \frac{h}{p} $$
Un ejemplo práctico
Veamos un caso concreto de dispersión de Compton, calculando el aumento de la longitud de onda de un fotón tras chocar con un electrón.
Supongamos un fotón de rayos X con longitud de onda inicial:
$$ \lambda = 0.030 \ \text{nm} = 3.00 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
El fotón incide sobre un electrón libre y se dispersa con un ángulo de 90°:
$$ \theta = 90^\circ $$
La longitud de onda de Compton se calcula como:
$$ \lambda_c = \frac{h}{m c} $$
Con \( h = 6.626 \times 10^{-34} \ \text{J·s} \) y \( c = 3.00 \times 10^8 \ \text{m/s} \)
$$ \lambda_c = \frac{6.626 \times 10^{-34} \ \text{J·s}}{m \times 3.00 \times 10^8 \ \text{m/s}} $$
La masa de un electrón es \( m_e = 9.11 \times 10^{-31} \ \text{kg} \)
$$ \lambda_c = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{9.11 \times 10^{-31} \cdot 3.00 \times 10^8} $$
$$ \lambda_c \approx 2.426 \times 10^{-12} \ \text{m} $$
Ahora aplicamos la fórmula de Compton:
$$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - \cos \theta) $$
Para \( \theta = 90^\circ \), \( \cos \theta = 0 \)
$$ \Delta \lambda = \lambda_c (1 - 0) = \lambda_c $$
El incremento en la longitud de onda es:
$$ \Delta \lambda = 2.426 \times 10^{-12} \ \text{m} $$
La nueva longitud de onda (dispersada) resulta:
$$ \lambda' = \lambda + \Delta \lambda $$
$$ \lambda' = (3.00 \times 10^{-11}) + (2.426 \times 10^{-12}) \ \text{m} $$
$$ \lambda' = 3.2426 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
Así, tras la colisión con el electrón, la longitud de onda del fotón aumenta:
$$ \lambda' > \lambda = 3.00 \times 10^{-11} \ \text{m} $$
Lo que implica que la energía del fotón disminuye ligeramente.
Esta pérdida de energía se debe a que el fotón transfiere parte de su momento al electrón durante la colisión.
¿Por qué una mayor longitud de onda implica menor energía? La energía \( E \) de un fotón se expresa como: $$ E = h \nu $$ donde \( h \) es la constante de Planck y \( \nu \) la frecuencia. Ambas magnitudes están relacionadas inversamente: $$ \nu = \frac{c}{\lambda} $$ Sustituyendo en la ecuación de la energía: $$ E = h \cdot \frac{c}{\lambda} $$ Se ve claramente que, al aumentar \( \lambda \), la energía \( E \) disminuye, y viceversa. Como la velocidad de la luz es constante, una frecuencia menor (es decir, una longitud de onda mayor) se traduce en menos energía por fotón.
Este experimento constituye una de las pruebas más convincentes de que la luz y la materia intercambian momento en colisiones elásticas, tal como predice la teoría cuántico-relativista.
Sigue siendo uno de los experimentos decisivos que confirmaron el carácter corpuscular de la luz.
Y así sucesivamente.
