Amplitud de dispersión

La amplitud de dispersión (scattering) $ \mathcal{M} $ es la magnitud clave que permite cuantificar la probabilidad de que dos partículas, al colisionar, interactúen de una manera concreta. El módulo al cuadrado de esta amplitud proporciona la probabilidad física del proceso y, a partir de ella, se obtiene la sección eficaz que se mide en los experimentos.

En física cuántica, cuando dos partículas colisionan, no existe un único resultado posible. Pueden darse distintos procesos finales, cada uno con una probabilidad bien definida.

Pensemos, por ejemplo, en un haz de partículas que incide sobre un blanco. Algunas partículas atraviesan el blanco prácticamente sin desviarse, mientras que otras se dispersan en diferentes direcciones.

A cada dirección de dispersión se le asocia una probabilidad. Sin embargo, estas probabilidades no se calculan directamente. El enfoque cuántico consiste en calcular primero las amplitudes de probabilidad.

Una amplitud es un número complejo cuyo módulo al cuadrado da la probabilidad de que ocurra un resultado concreto.

Nota. En física cuántica, todos los procesos se describen en términos de amplitudes de probabilidad. Cuando dos o más procesos distintos conducen al mismo estado final, sus amplitudes se suman de forma coherente, no sus probabilidades. Solo después de sumar las amplitudes se toma el módulo al cuadrado para obtener la probabilidad física.

En los procesos de dispersión, es decir, en las colisiones entre partículas, la amplitud de dispersión $ \mathcal{M} $ concentra toda la información dinámica relevante de la interacción.

Una vez conocida $ \mathcal{M} $, se pueden calcular todas las magnitudes observables. En particular, se obtiene la sección eficaz, que mide cuán probable es que las partículas interactúen a través de un canal determinado.

La sección eficaz $ \sigma $ es proporcional al módulo al cuadrado de la amplitud de dispersión.

\[ \sigma \propto |\mathcal{M}|^2 \]

Por tanto, una amplitud mayor implica una mayor probabilidad de interacción y, en consecuencia, una sección eficaz más grande.

Un ejemplo práctico

Consideremos la dispersión pion-protón, en la que intervienen un pión $ \pi $ y un protón $ p $.

$$ \pi + p \to \pi + p $$

En este proceso son posibles dos canales de isospín: uno con isospín total $ I = \tfrac{3}{2} $ y otro con $ I = \tfrac{1}{2} $.

¿Por qué existen dos canales? El pión tiene isospín $ I_1 = 1 $ y el protón tiene isospín $ I_2 = \tfrac{1}{2} $. Al combinar ambos isospines, el isospín total $ I $ puede tomar todos los valores comprendidos entre $ |I_1 - I_2| $ e $ I_1 + I_2 $, en pasos enteros o semi-enteros. En este caso: \[ |1 - \tfrac{1}{2}| = \tfrac{1}{2} \] \[ 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \] Por tanto, los únicos valores posibles del isospín total son: \[ I = \tfrac{1}{2}, \ \tfrac{3}{2} \] Este resultado se escribe de forma compacta como: \[1 \otimes \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} \oplus \tfrac{1}{2} \] lo que indica que la dispersión pion-protón solo puede darse en uno de estos dos estados de isospín total.

Cada uno de estos canales está asociado a su propia amplitud de dispersión $ \mathcal{M} $:

$ \mathcal{M}_{3/2} $ para el canal con isospín $ \tfrac{3}{2} $
$ \mathcal{M}_{1/2} $ para el canal con isospín $ \tfrac{1}{2} $

Dependiendo del estado inicial, el proceso de dispersión puede involucrar un único canal de isospín o una superposición lineal de varios canales.

En la dispersión pion-protón, el estado inicial puede presentarse en tres configuraciones distintas, determinadas por la carga eléctrica del pión:

$ \pi^+ + p $
$ \pi^0 + p $
$ \pi^- + p $

Cada configuración corresponde a un valor distinto de la tercera componente del isospín y, por tanto, a una descomposición diferente en los canales de isospín total $ I = \tfrac{3}{2} $ y $ I = \tfrac{1}{2} $.

Esto se debe a que el pión forma un triplete de isospín. Tiene isospín $ I = 1 $ y tres valores posibles de $ I_3 $, que se corresponden directamente con sus tres estados de carga:

$ \pi^+ $ con $ I_3 = +1 $
$ \pi^0 $ con $ I_3 = 0 $
$ \pi^- $ con $ I_3 = -1 $

El protón, por su parte, tiene isospín $ I = \tfrac{1}{2} $ y $ I_3 = +\tfrac{1}{2} $.

Al combinar el pión y el protón se obtienen tres estados iniciales con distintos valores de la proyección total del isospín:

$ I_3^{\text{tot}} = 1 + \frac12 = +\tfrac{3}{2} $ para $ \pi^+ + p $
$ I_3^{\text{tot}} = 0 + \frac12 = +\tfrac{1}{2} $ para $ \pi^0 + p $
$ I_3^{\text{tot}} = -1 + \frac12 = -\tfrac{1}{2} $ para $ \pi^- + p $

Desde el punto de vista de la simetría de isospín, estos estados son físicamente distintos y presentan descomposiciones diferentes en los canales $ I = \tfrac{3}{2} $ y $ I = \tfrac{1}{2} $.

De ellos, solo $ \pi^+ + p $ es un estado de isospín puro con $ I = \tfrac{3}{2} $. Las otras dos configuraciones son estados mixtos, es decir, superposiciones lineales de varios canales de isospín.

¿Cuál es la diferencia entre un estado inicial puro y uno mixto?

Si el estado inicial es puro, es decir, tiene un isospín total bien definido, solo contribuye una única amplitud de dispersión.

Por ejemplo, cuando el estado inicial es $ \pi^+ + p $, la amplitud de dispersión coincide directamente con $ \mathcal{M}_{3/2} $.

\[ \mathcal{M} = \mathcal{M}_{3/2} \]

En cambio, si el estado inicial es mixto, como en el caso de $ \pi^- + p $, contribuyen varias amplitudes. Estas se suman de forma coherente y pueden interferir entre sí.

\[ \mathcal{M} = c_{3/2} \mathcal{M}_{3/2} + c_{1/2} \mathcal{M}_{1/2} \]

Nota. En determinadas situaciones, incluso cuando el estado inicial es mixto, la dinámica puede seleccionar de forma efectiva un único canal de isospín, lo que da lugar a una descripción simplificada. Este caso requiere un análisis dinámico más detallado y no se discute aquí.

En todos los casos, el módulo al cuadrado de la amplitud de dispersión $ \mathcal{M} $ determina la sección eficaz $ \sigma $, que representa la probabilidad de que la reacción tenga lugar.

\[ \sigma \propto |\mathcal{M}|^2 \]

Para un análisis más detallado de este ejemplo, pueden consultarse mis apuntes sobre la dispersión pion-nucleón.

Y así sucesivamente.