Teoría de perturbaciones

La teoría de perturbaciones es un marco matemático que permite aproximar magnitudes físicas cuando la interacción es lo bastante débil, desarrollando el resultado en potencias de la constante de acoplamiento.

En esencia, si un problema físico resulta demasiado complejo para resolverse exactamente pero la interacción es pequeña, esta puede tratarse como una ligera “perturbación” de un sistema más simple y no interactuante.

1. Se parte de la solución exacta de un sistema “ideal” (sin interacción). 
2. Se incorporan correcciones cada vez menores que describen la interacción real. 
3. El resultado final se expresa como una serie en potencias de la constante de acoplamiento.

Nota. La teoría de perturbaciones es una de las herramientas más empleadas en física teórica, especialmente en la teoría cuántica de campos. En QED y QCD se utiliza para calcular amplitudes de dispersión (probabilidades de interacción), correcciones a propagadores (masa, carga o momento magnético) y secciones eficaces (probabilidades de reacción). 

Un ejemplo matemático sencillo

Consideremos una función difícil de evaluar, por ejemplo:

$$ f(g) = \text{cierta magnitud física que depende de una constante } g $$

Si $g \ll 1$, es decir, si $g$ es mucho menor que 1, podemos expandirla como:

$$ f(g) = f_0 + g f_1 + g^2 f_2 + g^3 f_3 + \dots $$

Donde:

• $f_0$ es el resultado sin interacción (orden cero).
• $g f_1$ constituye la primera corrección debida a la interacción.
• $g^2 f_2$ es la segunda corrección, y así sucesivamente.

A esta expansión se la denomina serie perturbativa.

Los términos de una serie perturbativa pueden representarse visualmente mediante diagramas de Feynman:

En teorías cuánticas como QED y QCD, cada término de la expansión corresponde a un diagrama de Feynman que representa un posible proceso de interacción entre partículas.

Cada diagrama aporta un término proporcional a una potencia de la constante de acoplamiento.

Notas

Algunas consideraciones adicionales:

• Limitaciones de la teoría de perturbaciones
  La teoría de perturbaciones solo es fiable cuando la constante de acoplamiento es pequeña, es decir, cuando las interacciones son débiles.

  Por ejemplo, en QED (electrodinámica cuántica) la constante de acoplamiento es muy reducida ( $\alpha \approx \tfrac{1}{137}$ ), ya que los fotones son neutros. En este caso, la teoría de perturbaciones ofrece predicciones de extraordinaria precisión. En cambio, en QCD (cromodinámica cuántica) a bajas energías la constante de acoplamiento es grande ( $\alpha_s \sim 1$ ), por lo que la serie deja de converger. En esos regímenes la teoría de perturbaciones deja de ser aplicable y deben emplearse métodos no perturbativos.

Y así sucesivamente.