Operador de inversión del tiempo
El operador de inversión del tiempo (T) describe la transformación que invierte el sentido del tiempo en un proceso físico.
En términos intuitivos, aplicar T equivale a analizar la evolución de un sistema como si el tiempo avanzara hacia atrás, de forma similar a reproducir una grabación en sentido inverso.
Desde el punto de vista matemático, la inversión del tiempo se expresa mediante la transformación
$$ t \rightarrow -t $$
No se trata de una simple inversión cinemática, sino de una auténtica transformación de simetría de las leyes fundamentales de la física.
Si un proceso observado al revés en el tiempo es físicamente admisible y está regido por las mismas leyes que el proceso original, es decir, si ambos son físicamente equivalentes, se dice que la teoría es invariante bajo inversión del tiempo, o de forma equivalente, que la simetría T se conserva.
Nota. Desde una perspectiva intuitiva, si un fenómeno físico se graba y luego se reproduce hacia atrás, el proceso resultante debería seguir siendo compatible con las leyes de la física. Un ejemplo clásico es una colisión elástica entre dos bolas de billar. Este tipo de colisión obedece a las mismas leyes tanto si se observa hacia adelante como hacia atrás en el tiempo. Al reproducir la colisión en sentido inverso, el proceso sigue siendo coherente con las ecuaciones del movimiento y presenta las mismas probabilidades de transición. Durante la colisión, las fuerzas de contacto entre las dos bolas son siempre iguales en magnitud y opuestas en dirección: $$ \vec F_1 = - \vec F_2 $$ La fuerza ejercida por la primera bola sobre la segunda es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza ejercida por la segunda bola sobre la primera. Esta relación se cumple en todo instante de la colisión y no depende del sentido del tiempo. Por ello, incluso en el proceso invertido temporalmente, en el que las velocidades de ambas bolas cambian de signo, la relación $$ \vec F_1 = - \vec F_2 $$ sigue siendo válida. Este ejemplo ilustra con claridad un sistema en el que la simetría de inversión del tiempo T se conserva.
Decir que una teoría es invariante bajo inversión del tiempo implica que, siempre que un proceso físico esté permitido, el proceso obtenido al aplicar el operador T es físicamente equivalente. En particular, ocurre con la misma probabilidad y está gobernado por las mismas leyes dinámicas fundamentales.
Por el contrario, si el proceso transformado mediante T no es físicamente equivalente al original, se habla de violación de la simetría de inversión del tiempo, o simplemente de violación de T.
Es importante subrayar que la conservación de la simetría T no exige solo que el proceso invertido sea físicamente posible. Debe ser físicamente equivalente al proceso original, lo que significa que está descrito por las mismas leyes dinámicas y, de manera crucial, que ocurre con la misma probabilidad una vez que las condiciones físicas se transforman mediante T.
Un ejemplo práctico
Consideremos una partícula puntual que se desplaza a lo largo del eje \( x \).
Su ecuación de movimiento viene dada por
$$ x(t) = vt $$
donde \( v \) es una velocidad constante.
Al aplicar el operador de inversión del tiempo, el parámetro temporal se transforma como
$$ t \rightarrow -t $$
Aplicando esta transformación a la ecuación de movimiento se obtiene
$$ x(-t) = v(-t) = -vt $$
Esta expresión describe la trayectoria invertida en el tiempo.
En el movimiento original, para \( t > 0 \), la partícula se mueve hacia la derecha con velocidad \( +v \).
En el movimiento transformado por T, para \( t > 0 \), la partícula se mueve hacia la izquierda con velocidad \( -v \).
El movimiento "hacia atrás en el tiempo" sigue siendo un proceso físicamente permitido. Por esta razón, las leyes de la mecánica clásica no distinguen entre pasado y futuro. La simetría de inversión del tiempo T se conserva.
Este ejemplo muestra de manera clara que la mecánica clásica es invariante bajo inversión del tiempo.
Ejemplo 2
El siguiente caso ofrece un ejemplo paradigmático de violación de la simetría de inversión del tiempo T.
Consideremos los kaones neutros, la partícula \( K^0 \) y su antipartícula \( \overline{K}^0 \).
Estas partículas pueden transformarse entre sí a través de la interacción débil:
$$ K^0 \longleftrightarrow \overline{K}^0 $$
Este fenómeno recibe el nombre de mezcla de kaones neutros.
Definamos los dos procesos de transición:
- $ K^0 \rightarrow \overline{K}^0 $
- $ \overline{K}^0 \rightarrow K^0 $
Si la simetría T fuera exacta, la probabilidad del proceso 1 sería igual a la del proceso 2, siempre que las condiciones iniciales y finales estuvieran relacionadas por inversión del tiempo.
Sin embargo, los experimentos muestran que estas dos probabilidades de transición no coinciden.
$$ P(K^0 \rightarrow \overline{K}^0) \neq P(\overline{K}^0 \rightarrow K^0) $$
Esta asimetría temporal constituye una violación directa de la simetría de inversión del tiempo.
No se trata de una conclusión indirecta basada en argumentos CP o TCP, sino de una observación experimental directa que demuestra que el proceso invertido en el tiempo no es físicamente equivalente.
En consecuencia, la "película" de la oscilación entre \( K^0 \) y \( \overline{K}^0 \), cuando se reproduce al revés, no describe el mismo fenómeno físico.
Por ello, la simetría de inversión del tiempo T está violada.
Conservación y violación de la simetría T
En física, algunos procesos son invariantes bajo inversión del tiempo, mientras que otros no lo son.
- En la mecánica clásica, muchas leyes fundamentales son invariantes bajo inversión del tiempo.
- En las interacciones fuerte y electromagnética, no se han observado violaciones de la simetría de inversión del tiempo.
- En la interacción débil, la simetría de inversión del tiempo está violada.
En consecuencia, en física de partículas, el operador de inversión del tiempo T se conserva en las interacciones fuerte y electromagnética, donde no se observa violación de T, mientras que se viola en la interacción débil.
Esta violación no es solo un hecho experimental, sino también una necesidad conceptual, tal como exige el teorema TCP.
El teorema TCP afirma que la transformación combinada de inversión del tiempo (T), conjugación de carga (C) y paridad (P) constituye una simetría exacta de cualquier teoría cuántica de campos relativista.
Suele expresarse de forma compacta como
$$ TCP = 1 $$
lo que indica que la operación combinada deja invariante la teoría.
$$ T = CP^{-1} $$
Esta relación implica que, si la simetría CP se viola en una teoría determinada, entonces la simetría de inversión del tiempo T también debe violarse, y viceversa.
Por lo tanto, dado que la simetría CP se viola experimentalmente en la interacción débil y el teorema TCP exige que la simetría combinada TCP se conserve, la simetría de inversión del tiempo T debe necesariamente estar violada.
Nota. En mecánica cuántica, el operador de inversión del tiempo T es un operador antiunitario. Esto significa que, además de transformar los observables físicos, no actúa como una matriz unitaria lineal simple, a diferencia del operador de paridad P y del operador de conjugación de carga C. Como consecuencia, ninguna partícula puede ser un estado propio de T, mientras que muchas partículas sí lo son de P o de C. Por esta razón, la inversión del tiempo no admite estados propios físicos.
De manera más general, el operador de inversión del tiempo es una herramienta fundamental para distinguir entre procesos reversibles e irreversibles, para identificar una flecha del tiempo en las interacciones fundamentales y para relacionar la violación de simetrías discretas con principios estructurales profundos de la teoría cuántica de campos.
En este sentido, T no es solo una operación matemática, sino un instrumento conceptual esencial para comprender el papel del tiempo en las leyes fundamentales de la naturaleza.
Y así sucesivamente.
