El Teorema de Noether
Toda simetría continua en la naturaleza está asociada a una ley de conservación.
En otras palabras, cada vez que algo en el universo se comporta igual tras un cambio, ya sea en el espacio, en el tiempo o en su estructura interna, hay una cantidad física que permanece constante. Esa conexión profunda entre simetría y conservación es la esencia del teorema de Noether.
¿Qué significa “simetría” en física?
En física, una simetría no es solo una cuestión de belleza visual. Es una transformación, como desplazar algo, girarlo o cambiar su fase, que deja intactas las leyes que rigen el sistema. Si al aplicar esa transformación el comportamiento del sistema no cambia, decimos que es invariante bajo dicha simetría.
Las simetrías pueden referirse al espacio o al tiempo, por ejemplo traslaciones y rotaciones, o afectar a la estructura interna de los campos, como sucede con las simetrías de gauge.
El teorema de Noether proporciona el puente matemático que une las simetrías con las leyes de conservación que observamos en la naturaleza.
Simetrías y leyes de conservación
La siguiente tabla resume algunos ejemplos clave:
| Simetría | Ley de conservación | Cantidad conservada |
|---|---|---|
| Invariancia temporal (las leyes de la física no cambian con el tiempo) | Conservación de la energía | Energía total |
| Invariancia espacial (las leyes son las mismas en todo el espacio) | Conservación del momento lineal | Momento lineal |
| Invariancia rotacional (las leyes no dependen de la orientación) | Conservación del momento angular | Momento angular |
| Invariancia de gauge (las leyes son invariantes ante un cambio en la “fase interna” de los campos) | Conservación de la carga eléctrica | Carga eléctrica |
El teorema de Noether no es una curiosidad matemática, sino uno de los pilares de la física moderna. Nos enseña que las leyes de conservación no son simples coincidencias, sino el reflejo directo de las simetrías más profundas del universo.
Nota. Albert Einstein reconoció que, sin la intuición de Emmy Noether (1917), la relatividad general no habría alcanzado la solidez matemática que hoy la caracteriza.
La formulación matemática
El teorema se aplica a sistemas descritos por una Lagrangiana L que depende de las coordenadas generalizadas $ q_i $, de sus derivadas temporales $ \frac{dq_i}{dt} $, y del tiempo $ t $:
$$ L = L(q_i, \dot{q}_i, t) $$
Si la Lagrangiana permanece invariante ante una transformación continua de las variables $ q_i $, o cambia solo en una derivada total respecto al tiempo, entonces existe una magnitud física que se conserva:
$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} , \delta q_i \right) = 0 $$
El término entre paréntesis se conoce como la carga de Noether, la cantidad que permanece constante a lo largo del tiempo.
Ejemplo 1: la invariancia temporal y la energía
Si la Lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, la simetría correspondiente es una traslación temporal:
$$ \frac{ \partial L}{\partial t} = 0 $$
Esto significa que, si desplazamos el sistema en el tiempo (por ejemplo, de $ t $ a $ t + \Delta t $), la forma de L no cambia. En otras palabras, las leyes de la física son las mismas hoy, mañana o dentro de mil años. Esa simetría implica la conservación de la energía total.
Nota técnica. Un sistema físico se describe mediante una Lagrangiana: $$ L(q_i, \dot{q}_i, t) $$ De ella se derivan las ecuaciones de movimiento a partir del principio de mínima acción: $$ \delta S = 0 \quad \text{con} \quad S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t)\, dt $$ De este principio surgen las ecuaciones de Euler - Lagrange: $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 $$ Si $ \frac{\partial L}{\partial t} = 0 $, entonces una traslación temporal deja $ L $ invariante. En otras palabras, las ecuaciones del movimiento no cambian, una manifestación de la simetría temporal. Según el teorema de Noether, a toda simetría continua le corresponde una cantidad conservada. Para la simetría temporal, dicha cantidad es la energía total del sistema: $$ E = \sum_i \dot{q}_i \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - L $$ Si derivamos respecto al tiempo: $$ \frac{dE}{dt} = -\frac{\partial L}{\partial t} $$ Por tanto, si $ L $ no depende explícitamente del tiempo, $ \frac{dE}{dt} = 0 $, y la energía total se conserva.
Ejemplo 2: invariancia espacial y momento lineal
Si la Lagrangiana no depende de la posición absoluta $ x $, sino solo de las distancias relativas, el sistema es invariante ante traslaciones espaciales. Esa simetría implica la conservación del momento lineal.
Ejemplo 3: invariancia rotacional y momento angular
Si la Lagrangiana no cambia al rotar el sistema, la simetría es rotacional, y la magnitud conservada es el momento angular.
Y así ocurre con todas las simetrías de la naturaleza. Cada una genera su propia ley de conservación. El teorema de Noether no solo unifica la física clásica, la relatividad y la teoría cuántica de campos bajo un mismo principio, sino que también nos recuerda una idea profundamente bella: la simetría es el lenguaje secreto de las leyes del universo.
