Simetrías en la Física
En física, una simetría es una transformación que deja intactas las leyes fundamentales de la naturaleza. Cada simetría expresa una invariancia: algo que permanece constante incluso cuando el sistema cambia su forma o su orientación.
El teorema de Noether establece un principio fundamental: a toda simetría continua corresponde una cantidad conservada. Este vínculo entre simetría y conservación es uno de los pilares de la física moderna.
- Simetría temporal
Si las leyes físicas son las mismas en cualquier instante, la energía se conserva. - Simetría espacial
Si las leyes son iguales en todos los lugares, el momento lineal se conserva. - Simetría rotacional
Si las leyes no dependen de la orientación del sistema, el momento angular se conserva.
Por ejemplo, al girar un sistema mecánico en el espacio, las ecuaciones que describen su movimiento siguen siendo las mismas. Esa es una simetría rotacional.
Otros ejemplos. Si un experimento ofrece los mismos resultados hoy o mañana, estamos ante una simetría temporal. Si al intercambiar dos partículas idénticas el sistema no cambia, hablamos de una simetría de permutación. Estas simetrías, visibles o escondidas, son la huella de una estructura profunda en la naturaleza.
Grupos: el lenguaje matemático de la simetría
Las simetrías pueden combinarse. Aplicar una transformación después de otra equivale a realizar una única transformación compuesta. El conjunto de todas estas operaciones forma una estructura matemática llamada grupo.
En álgebra, un grupo es un conjunto de transformaciones que cumplen cuatro reglas básicas:
- Cierre: combinar dos transformaciones produce otra del mismo tipo.
- Asociatividad: el orden de agrupación no altera el resultado.
- Identidad: existe una transformación que no cambia nada.
- Inverso: toda transformación puede deshacerse con otra.
Las rotaciones en el espacio, por ejemplo, forman el grupo SO(3), compuesto por matrices ortogonales con determinante igual a 1.
En física de partículas, aparecen otros grupos importantes como SU(2) y SU(3), formados por matrices unitarias de determinante 1, que describen simetrías internas como el isospín o la carga de color.
Más ejemplos. Las traslaciones en el espacio y el tiempo forman un grupo abeliano. Las rotaciones y los impulsos relativistas se agrupan en el grupo de Lorentz. Cada grupo representa un tipo distinto de simetría en la naturaleza.
Para expresar estas simetrías, los físicos utilizan matrices. Una matriz permite representar una transformación como una operación lineal sobre vectores. Así, una rotación en tres dimensiones puede describirse con una matriz ortogonal 3×3 que actúa sobre un vector de posición.
Otros ejemplos. Las transformaciones de Lorentz se representan con matrices 4×4 que actúan sobre cuadrivectores del espacio-tiempo. En física de partículas, las simetrías del isospín y de la carga de color se representan mediante matrices unitarias de los grupos SU(2) y SU(3).
Estas matrices siguen las mismas reglas de combinación que los grupos a los que pertenecen: multiplicar dos matrices equivale a aplicar dos transformaciones sucesivas. Por eso hablamos de grupos matriciales.
| Concepto físico | Estructura matemática | Representación |
|---|---|---|
| Simetría de una ley física | Grupo de transformaciones | Matrices que actúan sobre vectores |
| Invariancia (lo que no cambia) | Propiedad del grupo | Cantidad conservada (Noether) |
| Transformación física (rotación, inversión, etc.) | Elemento del grupo | Matriz correspondiente |
Un ejemplo concreto
Consideremos un caso sencillo: una partícula libre que se mueve en el espacio tridimensional.
Su movimiento no se altera si rotamos el sistema de coordenadas. Esa es una simetría rotacional.
Las rotaciones forman el grupo SO(3). Cada rotación se representa mediante una matriz ortogonal 3×3 que actúa sobre el vector de posición \( \vec{r} = (x, y, z) \).
$$
R(\hat{r}, \theta) =
\begin{pmatrix}
\cos\theta + r_x^2(1 - \cos\theta) & r_x r_y(1 - \cos\theta) - r_z \sin\theta & r_x r_z(1 - \cos\theta) + r_y \sin\theta \\[6pt]
r_y r_x(1 - \cos\theta) + r_z \sin\theta & \cos\theta + r_y^2(1 - \cos\theta) & r_y r_z(1 - \cos\theta) - r_x \sin\theta \\[6pt]
r_z r_x(1 - \cos\theta) - r_y \sin\theta & r_z r_y(1 - \cos\theta) + r_x \sin\theta & \cos\theta + r_z^2(1 - \cos\theta)
\end{pmatrix}.
$$
Esta simetría explica por qué el momento angular se conserva.
$$ R_z(90^\circ)= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Si la partícula tiene una posición inicial \( \mathbf r=(2,\,1,\,0) \), después de aplicar la rotación obtenemos:
$$ \mathbf r' = R_z\,\mathbf r = \begin{pmatrix} -1\\[2pt] 2\\[2pt] 0 \end{pmatrix}. $$
La longitud del vector permanece constante:
$$ \|\mathbf r\|^2 = 5, \qquad \|\mathbf r'\|^2 = 5. $$
Ahora consideremos el momento lineal \( \mathbf p=(0,\,3,\,0) \). Tras la rotación:
$$ \mathbf p' = \begin{pmatrix} -3\\[2pt] 0\\[2pt] 0 \end{pmatrix}. $$
El momento angular antes y después de la rotación es:
$$ \mathbf L = \mathbf r\times \mathbf p = \begin{pmatrix} 0\\[2pt] 0\\[2pt] 6 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf L' = \mathbf r'\times \mathbf p' = \begin{pmatrix} 0\\[2pt] 0\\[2pt] 6 \end{pmatrix}. $$
El resultado es idéntico: el momento angular se conserva.
Este ejemplo ilustra dos ideas clave. Primero, las rotaciones se representan mediante matrices ortogonales que preservan longitudes y ángulos. Segundo, cuando un sistema es simétrico bajo rotaciones, su momento angular permanece constante. Esta conexión entre simetría y conservación es una de las más bellas manifestaciones de la armonía entre las matemáticas y la física.
La simetría no es un simple detalle estético: es la clave que revela la coherencia profunda del universo, el vínculo entre la estructura del espacio-tiempo y las leyes que lo gobiernan.
