Bornes d’un Ensemble
Définition des bornes
- Tout ensemble non vide admet toujours une borne supérieure (appelée supremum) et une borne inférieure (appelée infimum).
- Dans les ensembles bornés, ces bornes sont des réels finis.
- Dans les ensembles non bornés, elles sont symbolisées par \( +\infty \) ou \( -\infty \).
Un ensemble peut être majoré (c’est-à-dire admettre un supremum fini) sans pour autant être minoré (son infimum est alors \( -\infty \)), ou inversement.
Remarque : Le supremum et l’infimum d’un ensemble peuvent appartenir ou non à cet ensemble.
La meilleure façon de s’approprier les notions d’infimum et de supremum est d’en examiner quelques exemples concrets.
L’infimum
Soient A un ensemble et B un sous-ensemble de A, $$ B \subseteq A $$ l’infimum de B est un élément \( a \in A \) tel que \( a \le b \) pour tout \( b \in B \). $$ \inf(B) = a \le b \quad a \in A,\ b \in B $$
- Dans un ensemble borné, l’infimum est la plus grande des bornes inférieures de B.
Par exemple, l’infimum de B est 3.
- Dans un ensemble non borné inférieurement, l’infimum est égal à \( -\infty \).
Exemple 1
Soit A l’ensemble des réels \( \mathbb{R} \), défini sur l’intervalle \( (-\infty, +\infty) \).
Soit B un sous-ensemble de A composé de 7 réels :
$$ B = \{ 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6 \} $$
L’infimum de B est 3.
$$ \inf(B) = 3 \le b \quad \forall b \in B $$
car 3 est le plus petit des éléments de B.
Remarque : Dans cet exemple, \( \inf(B) = 3 \) appartient à B, mais ce n’est pas une règle générale.
Exemple 2
L’ensemble A est toujours \( \mathbb{R} \).
L’ensemble B est constitué des réels strictement positifs \( \mathbb{R}^+ \).
L’infimum de B est 0.
$$ \inf(B) \le b \quad \forall b \in B $$
C’est la plus grande borne inférieure de \( \mathbb{R}^+ \).
Remarque : Ici, \( \inf(B) = 0 \) n’appartient pas à \( \mathbb{R}^+ \), car il existe une infinité de réels positifs arbitrairement proches de zéro.
Le supremum
Soient A un ensemble et B un sous-ensemble de A, $$ B \sube A $$, le supremum de B est un élément \( a \in A \) tel que \( a \ge b \) pour tout \( b \in B \). $$ \sup(B) = a \ge b \quad a \in A,\ b \in B $$
- Dans un ensemble borné, le supremum est la plus petite des bornes supérieures de B.
Par exemple, le supremum de B est 9.
- Dans un ensemble non borné supérieurement, le supremum est égal à \( +\infty \).
Exemple 1
L’ensemble A est \( \mathbb{R} \).
L’ensemble B est un sous-ensemble de A constitué de 7 réels :
$$ B = \{ 3, 4, 7, 5, 8, 9, 6 \} $$
Le supremum de B est 9.
$$ \sup(B) = 9 \ge b \quad \forall b \in B $$
car 9 est le plus grand des éléments de B.
Remarque : Dans ce cas, \( \sup(B) = 9 \) appartient à B, mais ce n’est pas systématique.
Exemple 2
L’ensemble A est \( \mathbb{R} \).
L’ensemble B est constitué des réels strictement négatifs \( \mathbb{R}^- \), c’est-à-dire des réels inférieurs à zéro.
La borne inférieure de B est \( -\infty \).
$$ \inf(B) = -\infty \le b \quad \forall b \in B $$
Remarque : Ici, l’infimum \( \inf(B) = -\infty \) est une borne idéale qui n’appartient pas à B. L’ensemble \( \mathbb{R}^- \) n’a pas de plus petit élément. En revanche, la borne supérieure \( \sup(B) = 0 \) n’appartient pas non plus à B, car 0 n’est pas un réel strictement négatif.
Et ainsi de suite.
