Les Classes en Théorie des Ensembles

Une classe est une collection d’objets définis par une propriété donnée.

La théorie des ensembles introduit la notion de « classe » afin d’étendre et de clarifier celle d’ensemble.

Cette distinction permet de traiter certaines limites de la théorie des ensembles classique, notamment face à des collections trop vastes pour être considérées comme des ensembles au sens strict.

Le recours aux classes permet ainsi de préserver la cohérence logique de l’édifice mathématique.

Exemple : Considérons l’ensemble de tous les ensembles. Est-il lui-même un ensemble ? Si c’était le cas, il devrait se contenir lui-même. Mais s’il ne l’est pas, quelle est alors sa nature ? Ce questionnement conduit au célèbre paradoxe de Russell. Certains mathématiciens ont proposé l’existence d’un « ensemble universel » (U), tandis que d’autres ont introduit le concept plus souple de classe. Les éléments de U sont appelés petits ensembles, ou plus généralement classes.

Le paradoxe de Russell

En théorie des ensembles, un ensemble est une collection d’éléments bien définis, que l’on peut distinguer et manipuler mathématiquement.

Cette définition fonctionne dans la majorité des cas - notamment pour les ensembles finis et pour de nombreuses collections infinies usuelles.

Cependant, certaines constructions mathématiques font intervenir des collections si vastes que les considérer comme des ensembles conduit à des contradictions logiques, comme l’illustre le paradoxe de Russell.

Par exemple, la collection de tous les ensembles ne peut pas être un ensemble en elle-même, car cela impliquerait qu’elle se contienne - ou non - comme élément, ce qui engendre une contradiction.

C’est pour cette raison que les classes constituent un cadre plus général permettant de regrouper des objets définis par une propriété, sans exiger qu’ils forment un ensemble au sens usuel.

La notion de classe permet ainsi de parler, sans contradiction, de la classe de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes, de la classe de tous les groupes abéliens, ou de toute autre collection trop « grande » pour être un ensemble.

Elle offre ainsi un outil conceptuel puissant pour manipuler des structures mathématiques étendues tout en préservant la rigueur logique.

Différence entre ensembles et classes

De manière générale, tout ensemble est une classe, mais toute classe n’est pas un ensemble.

Les ensembles et les classes sont tous deux des collections, mais ils se distinguent par leur statut et leur portée dans la théorie.

• Ensembles
  Un ensemble est une collection bien définie d’éléments satisfaisant une propriété précise. Il peut être élément d’un autre ensemble et, par définition, ne comporte pas de doublons.
• Classes
  Une classe est une collection d’objets définie par une condition logique. Comme les ensembles, elle ne contient pas d’éléments répétés. Mais à la différence des ensembles, certaines classes ne peuvent pas être traitées comme des ensembles sans provoquer de contradiction. Toutes les classes ne sont donc pas des ensembles. Les classes qui ne peuvent être considérées comme des ensembles sont appelées classes propres. De plus, les classes ne peuvent jamais être membres d’autres classes. Elles sont introduites pour formaliser des notions d’un niveau de généralité trop élevé pour être capturées par les ensembles.

Remarque sur les collections : Bien que les ensembles et les classes soient des formes particulières de collections, le concept de collection au sens large peut autoriser des éléments dupliqués. Ce n’est pas le cas des ensembles ni des classes, qui ne tolèrent aucune répétition. Ainsi, toute classe ou ensemble est une collection, mais l’inverse n’est pas vrai.

Types de classes

En théorie des ensembles, on distingue deux grandes catégories : les ensembles et les classes propres.

• Ensembles
  Un ensemble est une classe suffisamment « petite » pour pouvoir être membre d’une autre classe.

Par exemple, l’ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) est un ensemble, car il peut être inclus dans d’autres ensembles plus généraux comme \( \mathbb{Z} \) (les entiers relatifs) ou \( \mathbb{R} \) (les réels). $$ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} $$

• Classes propres
  Une classe qui ne peut pas être élément d’une autre classe est appelée classe propre.

Par exemple, la classe de tous les ensembles est une classe propre. Elle ne peut être considérée comme un ensemble sans générer une contradiction (voir le paradoxe de Russell).

La distinction entre ensembles et classes joue un rôle central dans l’élaboration de fondements logiquement cohérents pour les mathématiques, en particulier dans les domaines de la logique formelle, de la théorie des ensembles axiomatique et des fondements des mathématiques.

Et ainsi de suite.