Ensemble connexe
Un ensemble ouvert \( A \) est dit connexe s’il est impossible de l’écrire comme l’union de deux sous-ensembles ouverts, disjoints et non vides. Autrement dit, il n’existe pas d’ensembles \( A_1 \) et \( A_2 \) tels que :
- \( A_1 \cap A_2 = \emptyset \) (ils sont disjoints)
- \( A_1 \neq \emptyset \) et \( A_2 \neq \emptyset \) (tous deux sont non vides)
- \( A_1 \cup A_2 = A \) (leur union est égale à \( A \))
Si de tels ensembles \( A_1 \) et \( A_2 \) existaient, cela signifierait que \( A \) peut être « scindé » en deux parties séparées, ce qui contredirait sa connexité.
Exemple illustratif
Exemple 1 : un ensemble connexe
Un exemple classique d’ensemble connexe est l’intervalle ouvert \( A = (0,1) \) sur la droite réelle.
Il est impossible de le décomposer en deux sous-ensembles ouverts, disjoints et non vides, dont l’union serait exactement \( (0,1) \).
Supposons que l’on tente de diviser \( (0,1) \) en deux intervalles ouverts disjoints tels que \( (0,a) \) et \( (b,1) \), avec \( 0 < a < b < 1 \). Leur union ne couvre pas tout l’intervalle \( (0,1) \), car l’intervalle \( (a,b) \) reste exclu. Comme la condition \( A_1 \cup A_2 = A \) n’est pas satisfaite, une telle décomposition est impossible, ce qui confirme que l’ensemble est connexe.
Exemple 2 : un ensemble non connexe
Considérons maintenant l’ensemble \( A = (0,0.4) \cup (0.6,1) \), formé de deux intervalles ouverts disjoints.
Il n’est pas connexe, car on peut l’exprimer comme l’union des ensembles ouverts \( (0,0.4) \) et \( (0.6,1) \), qui sont disjoints, non vides et dont l’union reconstitue exactement \( A \).
Étant donné que \( (0,0.4) \) et \( (0.6,1) \) sont des ensembles ouverts, disjoints et non vides, et que leur union est égale à \( A \), il en résulte que \( A \) n’est pas connexe.
Définition alternative d’un ensemble connexe
Une autre caractérisation de la connexité est la suivante : un ensemble \( A \) est connexe si, chaque fois qu’il peut être exprimé comme l’union de deux ensembles ouverts disjoints, alors l’un des deux est nécessairement vide.
- \( A_1 \cap A_2 = \emptyset \) (ils sont disjoints)
- \( A_1 \cup A_2 = A \) (leur union est égale à \( A \))
Alors, nécessairement, \( A_1 = \emptyset \) ou \( A_2 = \emptyset \).
Autrement dit, si l’on peut écrire \( A \) comme l’union de deux ouverts disjoints, l’un des deux doit forcément être vide. Dans le cas contraire, \( A \) serait constitué de deux parties séparées, ce qui contredirait la définition d’un ensemble connexe.
