Ensembles Identiques

Deux ensembles A et B sont dits ensembles identiques (ou ensembles égaux) s’ils vérifient la condition d’inclusion réciproque : $$ A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$ Dans ce cas, on note : $$ A = B $$

Autrement dit, deux ensembles A et B sont identiques si A est contenu dans B et B est contenu dans A.

Ces deux ensembles constituent alors des sous-ensembles impropres l’un de l’autre.

Démonstration

D’après la première inclusion, tous les éléments de l’ensemble A appartiennent à l’ensemble B.

$$ A \subseteq B $$

Autrement dit, il n’existe aucun élément de A qui ne soit pas dans B.

De façon analogue, la seconde inclusion affirme que tous les éléments de l’ensemble B se trouvent également dans l’ensemble A.

$$ B \subseteq A $$

Cela implique qu’aucun élément de B n’est absent de A.

Si aucun élément de B ne manque dans A, et réciproquement, on conclut que les deux ensembles sont identiques.

$$ A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$

On peut également exprimer cette égalité en disant que deux ensembles sont identiques si, et seulement si, tout élément de A appartient à B et inversement : $$ A = B \Leftrightarrow ( x \in A \Leftrightarrow x \in B ) $$

Exemple

Illustrons cela avec deux ensembles :

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ x \in N \ | \ 2x + 1 < 10 \} $$

L’ensemble B est constitué de tous les nombres naturels vérifiant la condition \(2x+1<10\).

$$ 2x+1<10 $$

$$ x < \frac{9}{2} $$

Ce qui correspond aux entiers naturels 0, 1, 2, 3 et 4.

$$ A = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

$$ B = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \} $$

Comme on le constate, les deux conditions d’inclusion sont satisfaites :

$$ A \subseteq B $$

$$ B \subseteq A $$

On peut donc affirmer que ces deux ensembles sont identiques.

$$ A=B $$

Remarques

Quelques précisions au sujet des ensembles égaux :

• Deux ensembles égaux possèdent nécessairement la même cardinalité.
  Cela peut sembler évident, mais il est toujours utile de le rappeler. Si deux ensembles sont égaux, \( A = B \), alors ils contiennent exactement les mêmes éléments et présentent donc le même nombre d’éléments, autrement dit, la même cardinalité. $$ | A | = |B| $$

Et ainsi de suite.