Ensemble non borné

Qu’est-ce qu’un ensemble non borné ?

On dit qu’un ensemble $ A $ est non borné lorsque son infimum et son supremum correspondent respectivement à moins l’infini et à plus l’infini. $$ inf(A) = -\infty $$ $$ sup(A) = +\infty $$

Un ensemble est non borné inférieurement si son infimum est égal à moins l’infini (-∞).
Un ensemble est non borné supérieurement si son supremum est égal à plus l’infini (+∞).
On parle d’ensemble non borné lorsqu’il n’existe ni borne inférieure finie ni borne supérieure finie.

Plus généralement, un ensemble $ A \subset \mathbb{R} $ est non borné inférieurement si, quel que soit le nombre réel $ M $, on peut toujours trouver un élément de $ A $ strictement inférieur à $ M $. Cela signifie que l’ensemble s’étend indéfiniment vers les valeurs négatives et ne possède aucune borne inférieure finie.

$$ \forall \ M \in \mathbb{R} \ \exists \ x \in A \mid x < M $$

De manière symétrique, un ensemble $ A \subset \mathbb{R} $ est non borné supérieurement si, pour tout nombre réel $ M $, il existe au moins un élément de $ A $ strictement supérieur à $ M $. L’ensemble s’étend alors sans limite vers les valeurs positives et ne possède aucune borne supérieure finie.

$$ \forall \ M \in \mathbb{R} \ \exists \ x \in A \mid x > M $$

Lorsqu’un ensemble vérifie simultanément ces deux propriétés, on le qualifie simplement de non borné, sans autre précision.

Remarque. Un ensemble est dit borné lorsqu’il est borné à la fois inférieurement et supérieurement. Autrement dit, il existe deux nombres réels $ m $ et $ M $ tels que $ m \le x \le M \quad \forall x \in A $.

Exemples

Exemple 1

L’ensemble des nombres réels $ \mathbb{R} $ constitue un exemple typique d’ensemble non borné.

$$ inf(\mathbb{R}) = -\infty $$

$$ sup(\mathbb{R}) = +\infty $$

Ici, l’infimum et le supremum sont tous deux infinis. Quel que soit le nombre réel choisi, il est toujours possible d’en trouver un autre plus grand et un autre plus petit.

Exemple 2

L’ensemble des nombres naturels $ \mathbb{N} $ est non borné supérieurement.

$$ inf(\mathbb{N}) = 0 $$

$$ sup(\mathbb{N}) = +\infty $$

Dans ce cas, seul le supremum est infini, tandis que l’infimum (0) reste fini. Cela traduit le fait que, à partir de n’importe quel nombre naturel, on peut toujours en trouver un autre strictement plus grand.

Exemple 3

L’ensemble des nombres réels négatifs $ \mathbb{R}^- $ est non borné inférieurement.

$$ inf(\mathbb{R}^-) = -\infty $$

$$ sup(\mathbb{R}^-) = 0 $$

Ici, seul l’infimum est infini, tandis que le supremum est égal à 0. Concrètement, cela signifie que, quel que soit le nombre réel négatif considéré, il est toujours possible d’en trouver un autre encore plus petit.

Et ainsi de suite.