Ensembles Non Bornés
Qu’est-ce qu’un ensemble non borné ?
On dit qu’un ensemble \( A \) est non borné lorsque ses extrémités s’étendent indéfiniment dans les deux directions : $$ \inf(A) = -\infty $$ $$ \sup(A) = +\infty $$
- Un ensemble est non minoré lorsqu’il ne possède aucune borne inférieure et s’étend vers moins l’infini (\( -\infty \)).
- Il est non majoré s’il ne possède pas de borne supérieure et s’étend vers plus l’infini (\( +\infty \)).
- On dit qu’un ensemble est non borné au sens absolu lorsque ni son infimum ni son supremum ne sont des réels finis.
Exemples
Exemple 1
L’ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) n’est ni borné inférieurement ni borné supérieurement.
$$ \inf(\mathbb{R}) = -\infty $$
$$ \sup(\mathbb{R}) = +\infty $$
Comme il s’étend sans limite dans les deux sens de la droite réelle, \( \mathbb{R} \) est un exemple type d’ensemble non borné.
Exemple 2
L’ensemble des entiers naturels \( \mathbb{N} \) est minoré, mais non majoré.
$$ \inf(\mathbb{N}) = 0 $$
$$ \sup(\mathbb{N}) = +\infty $$
Dans ce cas, seule la borne supérieure est infinie : l’ensemble est borné inférieurement, mais non supérieurement.
Exemple 3
L’ensemble des réels strictement négatifs \( \mathbb{R}^- \) est majoré, mais non minoré.
$$ \inf(\mathbb{R}^-) = -\infty $$
$$ \sup(\mathbb{R}^-) = 0 $$
Ici, seule la borne inférieure est infinie : l’ensemble est borné supérieurement, mais non inférieurement.
On pourrait multiplier les exemples : les ensembles non bornés sont fréquents dans l’analyse réelle.
