Minimum
Qu'appelle-t-on la valeur minimale ?
Le minimum \( m \) d’un ensemble \( A \) est un élément de \( A \) tel qu’il soit inférieur ou égal à tous les autres éléments de l’ensemble : $$ \begin{cases} m \in A \\ \\ m \le a \quad \forall \, a \in A \end{cases} $$ On le note généralement : $$ m = \min(A) $$
Un élément ne peut être le minimum d’un ensemble que s’il appartient à cet ensemble.
S’il n’en fait pas partie, on parle alors d’une borne inférieure, ou plus précisément de l’infimum (la plus grande des bornes inférieures).
Un ensemble peut-il ne pas admettre de minimum ? Oui. Tous les ensembles ne possèdent pas nécessairement de valeur minimale. Par exemple, l’ensemble des réels strictement positifs \( \mathbb{R}^+ \) n’a pas de minimum, car son domaine est \( (0, +\infty) \). Le nombre 0 n’appartient pas à \( \mathbb{R}^+ \), et entre 0 et tout réel positif \( r \), on peut toujours trouver un réel \( r' \) tel que \( 0 < r' < r \).
Exemple concret
Considérons l’ensemble suivant, composé de 7 éléments :
$$ A = \{ 1, 2, 4, -2, 6, -1, 3 \} $$
La valeur minimale de \( A \) est :
$$ \min(A) = -2 $$
Car -2 est inférieur ou égal à tous les autres éléments de l’ensemble :
$$ -2 \le 1 \\ -2 \le 2 \\ -2 \le 4 \\ -2 \le -2 \\ -2 \le 6 \\ -2 \le -1 \\ -2 \le 3 $$
Unicité du minimum
Lorsqu’un ensemble possède un minimum, celui-ci est unique.
Autrement dit, il ne peut y avoir deux éléments distincts remplissant la condition de minimalité dans un même ensemble.
Cela dit, un ensemble peut aussi ne pas admettre de minimum.
Remarque : Un ensemble ne contient pas de doublons. Par conséquent, si une valeur minimale existe, elle est forcément unique.
Démonstration
Supposons, par l’absurde, qu’un ensemble admette deux minima différents :
$$ m_1 \le a \quad \forall \, a \in A $$
$$ m_2 \le a \quad \forall \, a \in A $$
Comme tous deux sont minimaux, ils appartiennent à \( A \) :
$$ m_1, m_2 \in A $$
En particulier, chacun est inférieur ou égal à l’autre :
$$ m_1 \le m_2 $$
$$ m_2 \le m_1 $$
En combinant ces deux inégalités, on obtient :
$$ ( m_1 \le m_2 ) \land ( m_2 \le m_1 ) \Rightarrow m_1 = m_2 $$
Par conséquent, les deux « minima » supposés ne forment en réalité qu’un seul et même élément : \( m_1 = m_2 \).
La démonstration de l’unicité est ainsi complète.
