Différence entre Appartenance et Inclusion en Théorie des Ensembles

En théorie des ensembles, il est crucial de bien distinguer les notions d’appartenance et d’inclusion. Bien qu’elles soient proches, elles désignent des concepts différents et sont souvent source de confusion.

• Appartenance
  L’appartenance, notée par le symbole ∈, exprime la relation entre un élément isolé et un ensemble. Lorsque l’on écrit x ∈ S, cela signifie que x est l’un des éléments qui composent l’ensemble S.

  Par exemple, si S est l’ensemble {1, 2, 3}, l’énoncé 2 ∈ S est correct, car le nombre 2 figure bien parmi les éléments de S. Autrement dit, 2 appartient à l’ensemble S.

• Inclusion
  L’inclusion est exprimée par les symboles ⊂ et ⊆, et concerne une relation entre deux ensembles. Dire que A ⊂ B signifie que tous les éléments de A se trouvent également dans B. Le symbole ⊆ autorise aussi le cas particulier où A et B sont exactement les mêmes ensembles.

  Par exemple, si S = {1, 2, 3}, l’assertion {2} ⊂ S est correcte puisque l’ensemble {2} est inclus dans S, même s’il n’en constitue qu’une partie. Il s’agit donc d’un sous-ensemble propre. Si l’on souhaite inclure le cas où les deux ensembles sont identiques, on écrira {1, 2, 3} ⊆ S, ce qui est également valide.

En résumé, l’appartenance indique qu’un élément fait partie d’un ensemble, tandis que l’inclusion précise si un ensemble est contenu dans un autre.

Autrement dit, le symbole ∈ établit une relation entre un élément et un ensemble (appartenance), tandis que les symboles ⊂ et ⊆ expriment une relation entre deux ensembles (inclusion).

Par exemple, les expressions 3 ∈ S et {3} ⊂ S sont correctes, tandis que 3 ⊂ S et {3} ∈ S sont incorrectes.

Et ainsi de suite.