Cardinalité d’un Ensemble

La cardinalité d’un ensemble $ X $ désigne le nombre d’éléments qu’il contient. Elle se note $ |X| $.

Ce concept dépasse le simple comptage, notamment lorsqu’il s’agit d’ensembles infinis.

Cardinalité des ensembles finis
Lorsqu’un ensemble est fini, sa cardinalité correspond au nombre exact d’éléments qui le composent.
Par exemple, considérons une bibliothèque contenant cinq livres. La cardinalité de cet ensemble est alors égale à cinq, ce que l’on note $ |A| = 5 $, où $ A $ représente l’ensemble des livres.
Cardinalité des ensembles infinis
Dans le cas des ensembles infinis, la notion de taille prend une dimension plus abstraite.
Prenons l’ensemble des nombres naturels $ \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,\dots \} $ et celui des entiers relatifs $ \mathbb{Z} = \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \} $. Ces deux ensembles sont infinis, mais leur cardinalité est dite dénombrable, car il est possible d’énumérer leurs éléments un à un.
À l’inverse, l’ensemble des réels $ \mathbb{R} $, qui comprend tous les points d’une droite continue, possède une cardinalité non dénombrable : entre deux réels, il existe toujours une infinité d’autres. Ainsi, bien que $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} $, la cardinalité de $ \mathbb{R} $ est strictement supérieure à celle de $ \mathbb{N} $ ou de $ \mathbb{Z} $.

En résumé, la cardinalité ne mesure pas seulement la taille d’un ensemble : elle révèle aussi l’existence de différents types d’infini, mettant en lumière des nuances que le simple regard ne perçoit pas toujours.

Remarques

Quelques observations complémentaires :

Cardinalité des sous-ensembles finis
Si $ A $ et $ B $ sont deux ensembles finis et que $ A $ est un sous-ensemble de $ B $, alors la cardinalité de $ A $ est inférieure ou égale à celle de $ B $ :
$$ A \subseteq B \Leftrightarrow |A| \le |B| $$
Exemple :
Soit les ensembles :
$$ A = \{ 1, 2, 3 \} $$
$$ B = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$
Tous les éléments de $ A $ appartiennent à $ B $, donc $ A \subseteq B $.
On a $ |A| = 3 $ et $ |B| = 4 $, d’où :
$$ |A| \le |B| $$
Cardinalité de deux ensembles égaux
Si deux ensembles $ A $ et $ B $ sont identiques ($ A = B $), alors ils possèdent nécessairement la même cardinalité :
$$ A = B \Rightarrow |A| = |B| $$
Exemple :
Considérons les ensembles suivants :
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
$$ B = \{3, 1, 2\} $$
Bien que l’ordre diffère, les deux ensembles contiennent exactement les mêmes éléments. On a donc $ A = B $ et, par conséquent, $ |A| = |B| = 3 $.

Et ainsi de suite.