Multiensembles

Un multiensemble est une extension du concept classique d’ensemble, dans laquelle la répétition des éléments est autorisée.

Les multiensembles sont particulièrement utiles dans les situations où le nombre d’occurrences de chaque élément constitue une information significative.

Contrairement à un ensemble ordinaire, dans lequel chaque élément apparaît au plus une fois, un multiensemble peut contenir plusieurs instances d’un même élément.

Remarque : Les multiensembles jouent un rôle central dans des domaines tels que la combinatoire ou la théorie des groupes, où il est fréquent de travailler avec des structures comportant des répétitions.

Sur le plan formel, un multiensemble se définit comme un couple $ M = (A, m) $, où :

$ A $ désigne l’ensemble de support, c’est-à-dire l’ensemble des éléments distincts présents dans le multiensemble.
$ m : A \rightarrow \mathbb{N} $ est la fonction de multiplicité, qui associe à chaque élément de $ A $ un entier naturel indiquant combien de fois cet élément apparaît dans $ M $. C’est cette fonction qui confère au multiensemble sa structure particulière.

Remarque : Si $ m(x) = 1 $ pour tout $ x \in A $, alors $ M $ coïncide avec un ensemble ordinaire : la notion de multiplicité devient alors superflue.

La cardinalité d’un multiensemble est définie comme la somme des multiplicités de ses éléments ; elle représente donc le nombre total d’éléments, répétitions comprises.

Un multiensemble peut également être représenté comme un ensemble de couples :

$$ M = \{ (x, m(x)) \mid x \in A \} $$

Dans cette représentation, $ x $ est un élément du support, et $ m(x) $ indique sa fréquence dans le multiensemble.

Exemple concret

Considérons le multiensemble suivant : \{a, a, b, b, b, c\}.

Il peut être défini formellement par $ M = (A, m) $, où :

$ A = \{a, b, c\} $ est l’ensemble de support.
La fonction de multiplicité est donnée par : $ m(a) = 2 $, $ m(b) = 3 $, $ m(c) = 1 $.

La cardinalité de $ M $ est donc :

$$ |M| = m(a) + m(b) + m(c) = 6 $$

Le multiensemble contient ainsi six éléments au total, en tenant compte des répétitions.

On peut également l’écrire sous forme de couples :

$$ M = \{ (a,2), (b,3), (c,1) \} $$

Exemple 2

Considérons le nombre 360. Sa décomposition en facteurs premiers s’écrit :

$$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$

On peut l’interpréter comme un multiensemble de facteurs premiers :

$$ A = \{(2, 3), (3, 2), (5, 1)\} $$

Chaque couple exprime la multiplicité d’un facteur donné dans la décomposition, illustrant une application concrète des multiensembles à l’arithmétique.

Exemple 3

Considérons le polynôme suivant :

$$ x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 $$

Ce polynôme admet deux racines de multiplicité trois et une racine simple.

Sa forme factorisée est :

$$ (x - 2)^3 \cdot (x - 1) $$

On peut alors représenter l’ensemble des racines sous forme de multiensemble :

$$ M = \{(2, 3), (1, 1)\} $$

Chaque couple indique la multiplicité associée à une racine, ce qui montre l’intérêt des multiensembles pour décrire les structures algébriques comportant des répétitions.

Et ainsi de suite.