L’Ensemble Universel
En théorie des ensembles, l’ensemble universel désigne l’ensemble qui contient tous les autres ensembles. On l’appelle également ensemble univers. $$ U = \{ A, B, C, ... \} $$
Le Paradoxe du Barbier
Néanmoins, la notion d’ensemble universel conduit à certaines contradictions logiques.
Pour mieux les comprendre, considérons le célèbre paradoxe du barbier, formulé par Bertrand Russell à la fin du XIXe siècle.
- Dans un village, le barbier rase toutes les personnes qui ne se rasent pas elles-mêmes.
Mais alors, qui rase le barbier ? - Si le barbier se rase lui-même, il ne devrait pas le faire.
- Mais s’il ne se rase pas lui-même, alors il devrait le faire.
De façon analogue, on peut se demander si l’ensemble universel U est élément de lui-même.
Par définition, U contient tous les ensembles.
- Si U ∈ U, alors il devrait ne pas s’inclure lui-même.
- Mais si U ∉ U, alors il devrait s’inclure lui-même.
Remarque. Dans ce contexte, on utilise la relation d’appartenance ∈ (et non celle d’inclusion ⊆), car les éléments de U sont eux-mêmes des ensembles. Il est donc correct d’écrire A ∈ U.
Examinons maintenant un autre exemple qui illustre encore plus clairement la difficulté.
Définissons l’ensemble S comme l’ensemble de tous les ensembles qui ne s’appartiennent pas à eux-mêmes.
- Si S ∈ S, alors, par définition, S ne devrait pas s’appartenir.
- Mais si S ∉ S, alors il devrait s’appartenir.
Une fois de plus, on aboutit à une contradiction logique.
Comment peut-on résoudre de tels paradoxes ?
Pour les éviter, une approche consiste à restreindre la définition de l’ensemble universel U, en le considérant uniquement comme l’ensemble des ensembles pertinents dans un contexte donné.
Autrement dit, on limite l’univers de référence aux seuls ensembles concernés par l’étude en cours.
Les ensembles extérieurs à ce cadre sont alors exclus de l’analyse.
