Maximum

Qu’entend-on par valeur maximale ?

Le maximum \( M \) d’un ensemble \( A \) est un élément de \( A \) qui est supérieur ou égal à tous les autres éléments de cet ensemble : $$ \begin{cases} M \in A \\ \\ M \geq a \quad \forall \, a \in A \end{cases} $$ Cette valeur maximale se note généralement : $$ M = \max(A) $$

Un élément ne peut être le maximum d’un ensemble que s’il appartient à celui-ci.

Lorsqu’il ne fait pas partie de l’ensemble, on parle alors d’une borne supérieure ou plus précisément du supremum (la plus petite des bornes supérieures).

Un ensemble peut-il ne pas admettre de maximum ? Oui, tous les ensembles ne possèdent pas nécessairement un maximum. Par exemple, l’ensemble des nombres réels \( \mathbb{R} \) n’a pas de maximum, car il est défini sur l’intervalle non borné \( (-\infty, +\infty) \). Le symbole \( +\infty \) ne représente pas un nombre réel et ne peut donc être considéré comme une valeur maximale.

Exemple concret

Considérons l’ensemble \( A \) suivant, constitué de 7 éléments :

$$ A = \{ -1, 0, 4, 2, 6, 1, 3 \} $$

Ici, la valeur maximale de \( A \) est 6, car aucun autre élément de l’ensemble n’est supérieur à lui :

$$ \max(A) = 6 $$

$$ 6 \geq -1 \\ 6 \geq 0 \\ 6 \geq 4 \\ 6 \geq 2 \\ 6 \geq 6 \\ 6 \geq 1 \\ 6 \geq 3 $$

Unicité du maximum

Lorsqu’un ensemble admet un maximum, celui-ci est nécessairement unique.

Autrement dit, un ensemble ne peut contenir plusieurs éléments qui satisfont simultanément la condition de maximalité.

En revanche, un ensemble peut très bien ne pas avoir de maximum du tout.

Remarque : Il est essentiel de se rappeler qu’un ensemble ne contient pas de doublons. Ainsi, si un maximum existe, il ne peut exister qu’en un seul exemplaire.

Démonstration

Supposons, dans le but d’obtenir une contradiction, qu’un ensemble admette deux maxima distincts :

$$ M_1 \geq a \quad \forall a \in A $$

$$ M_2 \geq a \quad \forall a \in A $$

Puisque \( M_1 \) et \( M_2 \) satisfont la définition du maximum, ils doivent tous deux appartenir à \( A \) :

$$ M_1, M_2 \in A $$

De plus, chacun étant supérieur ou égal à tous les éléments de \( A \), on a en particulier :

$$ M_1 \geq M_2 $$

$$ M_2 \geq M_1 $$

Ces deux inégalités impliquent aussitôt :

$$ ( M_1 \geq M_2 ) \land ( M_2 \geq M_1 ) \Rightarrow M_1 = M_2 $$

On en conclut que les deux « valeurs maximales » ne sont en réalité qu’un seul et même élément. Cela démontre que le maximum d’un ensemble, s’il existe, est nécessairement unique.

La démonstration est ainsi complète.